перевала метод

ПЕРЕВАЛА МЕТОД - способ оценки интегралов, подынтегральные ф-ции к-рых имеют резкий максимум. Обычно П. м. применяют для оценки интегралов вида

где - большой параметр, - контур в комплексной плоскости z, ф-ции f(z) и q(z)аналитичны в области, содержащей П. м. позволяет получить асимптотическое разложение интеграла Суть П. м. заключается в том, что для подынтегральной ф-ции с резким максимумом осн. вклад в интеграл даёт малая окрестность точки максимума z₀. Преобразуя путь интегрирования и производя замену переменных, добиваются того, чтобы наиб. давала окрестность z₀ как можно меньшего размера, а подынтегральная ф-ция имела наиб. простой вид. Получающиеся эталонные интегралы часто удаётся вычислить. Простейший вариант П. м. был использован П. Лапласом (P. Laplace) в 1820, затем он был развит в работах Б. Римана (В. Riemann) в 1863 и П. Дебая (P. Debye) в 1909.
На первом этапе вычислений контур деформируют в контур с теми же концами, проходящий через стационарные точки z₀ ф-ции q(z)[точки, в к-рых q'(z)=0]. Стационарная точка является седловой точкой поверхности и = и(х, у) = Req(z), z = х + iy. Наиб. удобный путь интегрирования совпадает с линией, вдоль к-рой Im q(z)постоянна, a Req(z) убывает быстрее всего (перевальный контур, путь наибыстрейшего спуска), тогда вычисление интеграла сводится к интегрированию по вещественной переменной. Др. возможность - выбор линии с постоянной Req(z), в этом случае П. м. переходит в метод стационарной фазы. Если при переходе к перевальному контуру встречаются особые точки ф-ции f(z), соответствующие вклады учитывают с помощью Коши теоремы. Если в рассматриваемой области q'(z)не имеет пулей, осн. вклад в интеграл даёт окрестность одного из концов контура интегрирования.
На след. этапе вычислений производят замену переменной так, чтобы максимум ф-циидостигался при s = 0, а производная обладала нулями такого же порядка, как и ф-ция q'(z). От выбора зависит вид эталонного интеграла.

1. Если q'(z)имеет в точке z₀ нуль порядка m, а f(z) регулярна вблизи z₀, то Эталонный интеграл выражается через гамма-функцию (см. Эйлера интегралы).

2. Если q'(z)имеет два близко расположенных простых нуля z_1,2, тоа₀ - постоянная. Эталонный интеграл выражается через Эйри функцию. Если конечна, то надо учитывать вклады каждого нуля отдельно (случай 1).

3. Три равноотстоящих нуля, расположенных близко друг к другу. Подстановка = а₀ - (а + s²)², эталонный интеграл выражается через параболического цилиндра функцию.

4. Если вблизи z₀ имеется полюс ф-ции f(z), то интеграл разбивается на две части, одна из к-рых соответствует случаю 1, а вторая выражается через интеграл вероятности или Френеля интеграл (см. Интегральные функции).

5. Если f(z) имеет точку ветвления 1-го порядка вблизи простой седловой точки, то интеграл выражается через ф-цию параболич. цилиндра.

6. Седловая точка находится вблизи концевой точки контура интегрирования, но не совпадает с ней. Эталонный интеграл выражается через интеграл Френеля.

Напр., если ф-ция f(z) не имеет особенностей вблизи изолиров. седловой точки 1-го порядка z₀, т. е. точки, в к-рой q'(z₀) = 0, q"(z₀)0, то асимптотич. значение таково:

аналогично получают асимптотич. разложение интеграла по степеням
П. м. можно применять и в многомерном случае. Напр., для кратного вещественного интеграла

имеющего простую стационарную точку x₀ = {x_i0, ..., x_n0}, и для ф-ции f(x), регулярной вблизи x₀, асимптотич. оценка имеет вид

Возможность перехода к эталонному интегралу в случае многомерной перевальной точки определяется леммой Морса, в соответствии с к-рой в окрестности невырожденной перевальной точки существует такая система локальных координат z₁, ..., z_n, что f(z) = f(0) + z²₁ + .... + z²_n. В тех случаях, когда при замене переменных возникают особенности, структуру эталонных интегралов определяют методами теории дифференцируемых отображений (см. Катастроф теория).
П. м. зачастую является единств, средством оценки интегралов, его применяют в разл. задачах матем. и статистической физики, распространения и рассеяния волн, диффузии и теплопроводности, при исследовании специальных функций, интегральных преобразований и др.

Лит.: Джеффрис Г., Свирлс Б., Методы математической физики, пер. с англ., в. 3, М., 1970, гл. 17; Федорюк М. В., Метод перевала, М., 1977; Фелсен Л., Маркувиц Н., Излучение и рассеяние волн, пер. с англ., т. 1, М., 1978, гл. 4; Олвер Ф., Введение в асимптотические методы и специальные функции, пер. с англ., М., 1978.

В. Е. Рокотян.