перенормированная теория возмущений

ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ в квантовой теории поля (КТП) - вариант возмущений теории (ВТ), используемый в перенормируемой КТП и характеризуемый тем, что исходные - "затравочные" - величины (операторы полей, векторы состояний, константы взаимодействия) в каждом порядке переопределяются ("перенормируются") с помощью спец. вычитательной процедуры. Эквивалентный способ представления П. т. в. состоит в использовании с самого начала конечных, физических, величин, но при этом в лагранжиан вводятся контрчлены ,к-рые обеспечивают в каждом порядке ВТ сокращение больших поправок к нач. параметрам разложения. Методика П. т. в. предполагает возможность введения регуляризации в теорию и выбора "ренормализац. схемы", т. е. способа вычитания бесконечных (при снятии регуляризации) вкладов в каждом порядке ВТ.
П. т. в. была сформулирована в работах Р. Фейнмана (R. Feynman), Ю. Швингера (J. Schwinger) и Ф. Дайсонa (F. Dyson) в 1948 - 49. Первонач. идея содержалась в работе X. Бете (Н. Bethe, 1947), осуществившего перенормировку массы электрона при вычислениях лэмбовского сдвига. Более строгое матем. обоснование процедура П. т. в. получила в работах Н. Н. Боголюбова и О. С. Парасюка в 1955 (см. Боголюбова - Парасюка теорема), а также К. Хеппа (К. Нерр, 1965) и В. Циммермана (W. Zimmennan, 1970).
П. т. в. возникла в связи с необходимостью устранения бесконечностей, возникающих при снятии регуляризации в высших порядках ВТ в квантовой электродинамике (КЭД). Но в любых моделях КТП, содержащих расходимости, процедура перенормировки полей и констант является обязательной для получения осмысленных результатов. Методика П. т. в. допускает в принципе и конечные перенормировки, но их осуществление не обязательно и является вопросом удобства. Разл. ренормализац. схемы отличаются друг от друга конечными перенормировками (см. Ренор-мализационная группа).
П. т. в. можно проиллюстрировать на примере амплитуды рассеяния электрона во внеш. эл--магн. поле. В низшем (первом) порядке, соответствующем борновскому приближению по затравочной константе взаимодействия ("заряду") е_в, эта амплитуда описывается Фейнмана диаграммой, изображённой на рис. 1, и имеет вид

где р, р' - 4-импульсы начального и конечного электрона, q = р - р' - переданный 4-импульс, - фурье-образ эл--магн. потенциала, - матричный элемент электромагнитного тока по электронным состояниям, = 0, 1, 2, 3 - лоренцев индекс (индекс В в обозначениях для заряда и поля от англ. слова bare - "голый"; он означает, что в низшем приближении не учитывается "шуба" из виртуальных частиц, сопровождающих электрон и фотон).

Рис. 1.

Рис. 2.

Радиационные поправки к (1) определяются диаграммами, изображёнными на рис. 2, к-рые содержат расходимости при больших виртуальных импульсах. В лоренцевой калибровке эл--магн. поля (см. Калибровочная инвариантность)расходимость остаётся только в диаграммах 2(а и б). Диаграммы 2(б)приводят к перенормировке массы и волновой ф-ции электрона. Диаграмма 2(а) даёт перенормировку заряда и внеш. поля. Проанализируем подробнее только вклад диаграммы 2(а), ограничившись для простоты двумя предельными случаями: 1) q²0; 2) - q² т², где т - масса электрона. Регуляризуем эту диаграмму с помощью процедуры Паули - Вилларса (см. Регуляризация расходимостей ).Если М - масса кванта регуляторного поля, то в первом случае (q²0) сумма диаграмм 1 и 2(а)

а во втором случае (при М² - q² т²)

В этих выражениях удержаны только большие логарифмич. вклады;
Видно, что в терминах исходных параметров ВТ "не работает", т. к. в следующем за борновским приближении возникают большие поправки Методика П. т. в. позволяет исправить ситуацию. Переопределим в ф-ле (2) заряд и потенциал внеш. поля:

где

Тогда амплитуда F, выраженная в переменных e_R и A_R (индекс R от англ. слова renormalized), примет тот же вид, что и борновская амплитуда в (1), но с заменой е_вe_R, А_ВА_R:

F = J(e_R,A_R). (6)

Т. о., если с самого начала использовать как параметры разложения величины e_R и A_R, то диаграмму 2(а)при q²0 вообще не следует рассматривать. Иначе говоря, нужно "руками" вычесть её вклад в точке q² = 0. Это удобно осуществить, добавив контрчлен в исходный лагранжиан теории, подобрав его так, чтобы он в соответствующем порядке компенсировал диаграмму 2(а)в точке q² = 0. После добавления контрчлена в лагранжиане должны уже фигурировать "перенормированные" величины e_R и A _R. (Необходимо также добавить контрчлены для перенормировки массы и волновой ф-ции электрона, к-рые здесь для простоты не обсуждаются.) Вид контрчлена обычно фиксируется требованиями локальности и симметрии.
Такую же процедуру можно осуществить и в след. порядках ВТ. В результате, напр., e_Rи константа перенормировки Z окажутся формальным рядом по затравочному заряду е_B.
Последоват. схема вычитания расходящихся подграфов в диаграммах Фейнмана при нулевых импульсах (к-рая отвечает итерациям контрчленов в высш. приближениях ВТ) даётся R-операцией.
После выполнения вычитат. процедуры амплитуда рассеяния при q² = 0 будет совпадать с борновской амплитудой (6) уже во всех порядках ВТ. Точная амплитуда F оказалась как бы "нормированной" на борновскую в отд. точке q² = 0. Поэтому о величине q² = 0 в рассматриваемой ренормализац. схеме иногда говорят как о "точке вычитания", или "точке нормировки".
Поскольку при q² = 0 к амплитуде F по построению нет больших поправок от высш. порядков ВТ, то искусственно введённый перенормированный заряд e_R непосредственно измеряется по значению борновской амплитуды в рассеянии электрона во внеш. поле на малые углы. Поэтому параметр e_Rназ. фи . зарядом электрона.
Подчеркнём, что введение перенормированных величин, согласно ф-ле (4), делает конечной амплитуду рассеяния при любых значениях q². Это связано с ло-гарифмич. характером расходимости диаграммы 2(а). Достаточно одного вычитания в произвольной точке, чтобы сделать диаграмму конечной. В частности, с точностью до членов после подстановки (4) амплитуда (3) приобретает вид

и не содержит массы регулятора.
Описанная схема не годится для асимптотически свободных теорий (см. Асимптотическая свобода ),в частности для квантовой хромодинамики (КХД). В таких теориях заряд, определённый через значение борновской амплитуды рассеяния, при нулевом импульсе оказывается большим и ВТ по этому параметру не существует. Эта трудность обходится выбором точки нормировки там, где заряд мал, т. е. при - q² = где - характерный массовый параметр в асимптотически свободных теориях (положение ИК-полюса в эффективном заряде).
В рассмотренном выше простейшем примере тоже возможен такой способ перенормировки. Ему соответствует вычитание вклада диаграммы 2(а) в точке - q² =При этом амплитуда рассеяния совпадает с борновской - q² = а в качестве заряда и ноля в борновской амплитуде рассеяния фигурируют величины

где

При произвольных, но больших значениях q² амплитуда рассеяния теперь равна:

а при q²0:

Если то и могут использоваться в качестве параметров в П. т. в.
В КЭД выбор точки нормировки - q² -для практич. целей является менее удобным, но в КХД - это единств. возможность. Причём в КХД возникает ряд дополнит, усложнений, связанных, в частности, с необходимостью рассматривать как глюоны ,так и ксарки вне массовой поверхности (с виртуальностями - р² ). Спец. меры приходится также применять для поддержания калибровочной инвариантности в процессе регуляризации и перенормировки.

Лит.: Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, пер. с англ., М., 1963; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1990; Волошин М. Б., Тер-Мартиросян К. А., Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц, М., 1984; Рамон П., Теория поля. Современный вводный курс, пер. с англ., М., 1984.

М. В. Терентъев.