перестановок группа

ПЕРЕСТАНОВОК ГРУППА степени n - множество S(n)перестановок п "предметов". П. г. также наз. симметрической группой. Условимся считать, что данные предметы размещены на п занумерованных местах и символ

обозначает перестановку, к-рая состоит в перемещении предмета с места i_k на место j_k (движение вниз). Из этого представления видно, что порядок расположения пар (i_kj_k) в символе S не имеет значения, а умножение в группе S(n)

напоминает закон умножения матриц. П. г. является конечной группой порядка n!
Элементы из S(n)могут быть порождены более простыми элементами, наз. циклами или транспозициями, напр.

где каждый цикл (i₁i₂...i_m) определяется как частичная перестановка

Цикл из двух символов наз. транспозицией. Цикл можно записать иначе: (1234) = (2341) = (3412) = (4123); произведение непересекающихся циклов коммутативно: (1234) (567) = (567) (1234); цикл с одним символом обычно опускают. Любой цикл можно представить как произведение транспозиций: (1234) = (12)(13)(14) (действие слева направо). Каждая перестановка представляется в виде произведения непересекающихся циклов (однозначно, с точностью до порядка множителей). Каждая конечная группа порядка п изоморфна подгруппе группы S(n)(теорема Кэли).
Группа S(n)допускает точное линейное представление (см. Представление гриппы)в векторном пространстве V_n размерности п. Оператор представления T_s переводит хV_nв х' = T_sxV_n, так что в произвольном фиксиров. базисе е₁, е₂,...,е_п представление Т_s элемента S действует след. образом:

В каждом столбце и в каждой строке матрицы T_s содержится по единств. элементу, равному единице, все остальные элементы равны нулю. Все неприводимые представления П. г. можно описать при помощи Юнга схем.
Если физ. система состоит из п тождественных частиц, то группа симметрии её гамильтониана будет содержать группу S (п).

Лит.: Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, М., 1958; Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966; Барут А., Рончка Р., Теория представлений групп и ее приложения, пер. с англ., ч. 1 - 2, М., 1980.

С. И. Азакин.