перестановочные соотношения

ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ - алгебраич. равенства, к-рым подчинены коммутаторы или антикоммутаторы нек-рых матем. величин, в частности величин, встречающихся при формулировке квантовой теории, напр. операторов квантовой механики. Если А₁и А₂ - две такие величины, то коммутатором [A₁, А₂] наз. разность между произведениями A₁A₂и А₂А₁, т. е. [А₁,А₂] = А₁А₂ - A₂A_l. Антикоммутатором {А₁,А₂} наз. сумма этих произведений, т. е. {А₁,А₂} = А₁,А₂ + А₂А₁. Обычно коммутаторы или антикоммутаторы нек-рой совокупности величин А ₁, А₂,..., А_п выражаются посредством П. с. через линейные комбинации тех же величин. Важнейшие свойства (напр., допустимые значения) физ. величин А₁, ...,А_попределяются именно П. с. и не зависят от представления последних, т. е. от того, каким конкретным способом реализованы величины А₁, ..., А_п. Этим объясняется фундам. роль П. с. в квантовой физике.
Если П. с. не включают антикоммутаторов, т. е. имеют вид [А_j,А_k] = то П. с. задают нек-рую Ли алгебру, причём числа t_jk_lназ. структурными константами соответствующей Ли группы, а величины А₁, ...,А_п - генераторами этой группы. Реализация генераторов А₁. ..,А_п самосопряжёнными операторами в гильбертовом пространстве или конечномерном евклидовом пространстве наз. представлением алгебры Ли. Приведём нек-рые примеры.
Если все t_jk_l = 0, т. е. если все попарные коммутаторы равны нулю, то соответствующая группа наз. абелевой или коммутативной. Тогда в каждом представлении можно одновременно привести генераторы А₁, ..., А_пк диагональному виду. Физически это означает, что величины А₁, ..., А_п могут иметь одновременно точные значения. Если в числе генераторов есть гамильтонианквантовой системы, то в состояниях с фиксиров. энергией все др. физ. величины из числа генераторов А₁, ..., А_п также могут принимать вполне определ. значения. Поскольку гамильтониан управляет временной эволюцией системы, все величины А₁, ..., А_п оказываются интегралами движения, т. е. сохраняются с течением времени. Так, в задаче о движении частицы в центр. поле попарно перестановочными являются гамильтониан оператор квадрата момента импульсаи оператор проекции момента импульса на к--л. ось. Поэтому в пространстве состояний существует базис, составленный из собств. векторов сразу трёх операторов: Это позволяет использовать стандартную классификацию состояний частицы с помощью трёх квантовых чисел - главного п, орбитального (азимутального) l и магнитного m.
Если n = 3, а А₁ = А₂ = А₃ = - проекции операторов момента импульса на оси х, у, z, то П. с. приобретают форму где - полностью антисимметричный тензор. В этом случае П. с. задают простейшую неабелеву алгебру - алгебру Ли группы SU₂. Группа SU₂ возникает в физике всегда, когда физ. система обладает симметрией по отношению к вращениям трёхмерного пространства. Из П. с. видно, что разл. проекции момента не перестановочны друг с другом, так что они не имеют одновременно точных значений. К диагональному виду можно привести любой, но только один из трёх операторов, напр. Его собств. значения дискретны и равны где т - целое или полуцелое число. Квадрат оператора момента также имеет лишь дискретные собств. значения где l - целое или полуцелое неотрицат. число. При заданном l имеем т = l, l - 1, ..., - l. Если l целое, то l и т и являются упомянутыми орбитальным и магнитным квантовыми числами.
Если п = 8, а П. с. имеют ту же форму [А_j,А_k] = но j,k,l = 1,2,...,8, то П. с. определяют алгебру Ли группы SU₃. Её генераторы порождают, напр., "вращения" в пространстве цветов кварка. По отношению к таким вращениям симметричен гамильтониан квантовой хромодинамики - теории, описывающей сильное взаимодействие элементарных частиц. Физ. состояния квантовой хромодинамики должны быть "бесцветными", т. е. принадлежать одномерным (синглетным) представлениям группы SU₃.
Пусть п = 3, a A₁ = A₂⁼ А₃= где - единичный оператор, аи - операторы координаты и импульса частицы. Равенство = задаёт т. н. канонические П. с. для системы с одной степенью свободы. Они определяют алгебру Ли группы Гейзенберга. Из них видно, что координата и импульс не могут принимать одновременно определ. значения. Если и - неопределённости в значениях координаты и импульса, то Это - частный случай неопределённостей соотношения .Для системы с т степенями свободы, т. е. для системы, гамильтониан к-рой зависит от т операторов обобщённых координат ,....и от т сопряжённых этим координатам импульсов канонич. П. с. имеют вид (здесь выписаны только ненулевые коммутаторы). Вообще, переход от классического к квантовому описанию физ. системы можно трактовать как замену классических Пуассона скобок коммутаторами операторов соответствующих величин. Из канонич. П. с. следует, что каждая пара канонич. переменных q_i,p_iудовлетворяет соотношению неопределённостей. В представлении, в к-ром все операторы координат диагональны [т. е. в представлении, где состояние задаётся волновой ф-цией(q₁, ...,q_m), причём =], операторы импульсов действуют по правилу В случае конечного числа степеней свободы все др. корректные представления канонич. П. с. связаны с описанным посредством нек-рого унитарного преобразования, т. е. эквивалентны ему. Часто вместо координат и импульсов используют операторы рождения

и уничтожения

П. с. для них принимают форму (выписаны только ненулевые коммутаторы). В случае бесконечного числа степеней свободы (когда т =)разл. представления канонич. П. с. уже не обязательно эквивалентны друг другу. Обычно используют Фока представление или представление с вакуумом.
Важнейшие системы с бесконечным числом степеней свободы - релятивистские квантовые поля. Так, свободное скалярное безмассовое веществ. поле зависящее от времени х₀ и координат х пространств. точки, задано равенством

(в системе единиц, в к-рой= с = 1). Операторные ф-ции a⁺(k) и a(k) удовлетворяют П. с. [a(k), a⁺(k')] =(k - k'), где(k) - дельта-функция Дирака. С дискретными операторами рождения и уничтожения a⁺_j и а_j функции a⁺(k) и a(k) связаны равенствами

причём {v_j(k)}- нек-рая ортонормиров. система ф-ций. Свободное поле подчинено след. одновременным П. с.:

где точка означает производную по времени. Если времена х₀ и х₀' различны, то где D(x) - перестановочная функция Паули - Иордана. Взаимодействующие поля обладают только частью свойств свободных полей, выраженных П. с., они должны быть локально коммутативны, т. е. их коммутаторы должны обращаться в нуль в точках, разделённых пространственноподобным интервалом (см. Локальная коммутативность). Одновременные П. с. для взаимодействующих полей теряют смысл в силу Хаага теоремы.
Классич. пример П. с. с участием антикоммутаторов или, как говорят, антиперестановочных соотношений - алгебра Дирака матриц:( - метрич. тензор,= 0,1,2,3; - g₀₀ = g_ll = g₂₂ = g₃₃= - 1). Физически существенны только эти алгебраич. равенства, конкретный выбор-матриц не играет роли. Антиперестановочным соотношениям удовлетворяет фермионное спинорное поле Ненулевые антикоммутаторы для поля имеют вид

где - дираковски сопряжённый к спинор: = ( - эрмитово сопряжённый спинор). В релятивистской квантовой теории используются также П. с., в к-рые входят сразу и антикоммутаторы и коммутаторы физ. величин. Такие П. с. наз. супералгебрами. Если теория инвариантна относительно преобразований, образующих нек-рую супералгебру, она наз. суперсимметричной квантовой теорией поля (см. Суперсимметрия).

Лит.: Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979.

О. И. Завьялов.