перестановочные функции

ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ ФУНКЦИИ - коммутаторы (или антикоммутаторы) операторов свободных бозонных (фермионных) полей, взятых в разных пространственно-временных точках х = (х₀,х)и у = (у₀,у). Так, в теории вещественного скалярного поля П. ф. есть

[В. Паули (W. Pauli), П. Йордан (P. Jordan), 1922]. Важнейшее свойство П. ф. - обращение их в нуль вне светового конуса, т. е. при (х - у)² = (х₀ - у₀)² - - (х - у)²< 0. Это свойство отражает микропричинность локальных квантовых теорий поля: любые операторы, определённые в точках, разделённых пространственноподобным интервалом, всегда коммутируют (даже при учёте взаимодействия), и соответствующие динамич. величины допускают независимое измерение. Явное выражение для D(x)(в системе единиц = с =1) имеет вид

где т - масса скалярной частицы, k = (k₀,k)- 4-импульс, - дельта-функция Дирака, и J₁(z) - ф-ция Бесселя (см. Цилиндрические функции ).Т. о., D(x)является обобщённой ф-цией с сингулярностью на световом конусе х² = 0.

D(x)удовлетворяет однородному Клейна - Гордона уравнению

и представила в виде суммы линейно независимых решений этого ур-ния D₊(x)и D_-(x):

к-рые часто используются в приложениях. Имеет место равенство

являющееся следствием перестановочных соотношений для канонически сопряжённых величин и
П. ф. массивного Дирака поляимеет вид

где - Дирака матрицы, - эрмитово сопряжённое поле.

Лит.: Ахиезер А. И., Берестсцкий В. В., Квантовая электродинамика, 4 изд., М., 1981; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984.

А. В. Смилга.