пластичности теория

ПЛАСТИЧНОСТИ ТЕОРИЯ математическая - наука о пластич. деформировании тел. П. т. занимается построением матем. моделей пластич. тел, методами определения напряжений и деформаций в пластически деформиров. телах. За исходные положения П. т. принимаются эксперим. данные, и непосредственно она не связана с физ. объяснением свойств пластичности. Совр. П. т. в основном связана со свойствами металлов; её применения возможны к таким материалам, как горные породы, лёд и т. д.
Осн. эксперименты по определению пластич. свойств металлов проводятся при испытании на растяжение - сжатие плоского или цшшндрич. образца при однородном деформировании тонкостенной цилиидрич. трубки, находящейся под действием растягивающей силы, крутящего момента и внутр. давления. На диаграмме напряжение - деформация (рис. 1) при одноосном растяжении образца мягкой малоуглеродистой стали до точки А деформации являются упругими (линейный участок).

Рис. 1. Диаграмма зависимости напряжение - деформация для образца из мягкой малоуглеродистой стали.

Точка А соответствует пределу пропорциональности материала, т. е. макс. напряжению, при к-ром ещё справедлив Гуна закон. Наиб. напряжение, к-рое может выдержать данный материал, не обнаруживая остаточных деформаций при разгрузке, наз. пределом упругости, или пределом пластичности; он не совпадает с пределом пропорциональности, но обычно их различием в П. т. пренебрегают. После точки А диаграмма становится криволинейной, а на отрезке ВС она имеет горизонтальную площадку, наз. площадкой текучести. Точка В соответствует пределу текучести материала. На площадке текучести деформация возрастает без увеличения напряжения. Начиная с точки С кривая вновь идёт вверх. Если снять нагрузку, то диаграмма разгрузки оказывается прямой МР, параллельной прямой упругого участка. Полная деформация соответствующая точке М, состоит из двух частей - упругойи пластической

Вторичное приложение растягивающих усилий сопровождается упругим деформированием до достижения растягивающими напряжениями значений, имевших место в нач. момент разгрузки (прямая РМ), т. о., вторичный вывод материала в пластич. область повышает предел упругости. Это явление наз. упрочением или наклёпом. При сжатии диаграмма напряжение - деформация подобна диаграмме растяжения. Однако наклёп материала при растяжении понижает предел упругости при сжатии (т. н. Баушингера эффект ).При пластич. деформировании возникает анизотропия механич. свойств в разных направлениях и эффект Баушингера - следствие приобретённой пластич. анизотропии.
Эксперименты показывают разнообразие в поведении металлов и др. твёрдых тел при пластич. деформировании. Существенным оказывается влияние скорости нагружения. При повышенной темп-ре (а в нек-рых случаях при комнатной темп-ре) твёрдые тела обнаруживают свойства ползучести и др. последствия. П. т. идеализирует сложное поведение реальных материалов; для разл. областей применения используются разл. модели пластич. тел. Обычно в П. т. диаграмму напряжение - деформация аппроксимируют схемой (рис. 2), состоящей из двух участков: отрезка ОА, соответствующего упругому состоянию материала, и отрезка АС, соответствующего состоянию пластичности. Широко используется схема жёсткопластического тела, где упругими деформациями пренебрегают по сравнению с пластическими (рис. 2,в). Выбор модели пластич. тела состоит в установлении связи между тензорами, определяющими напряжённое и деформиров. состояние материала.

Рис. 2. Идеализированные схемы зависимости -: а - упругопластический материал с линейным упрочением; б - идеальный упругопластический материал; в - идеальный жёсткопластический материал.

При пластич. деформировании напряжённое и деформиров. состояния материала зависят от последовательности нагружения. Данному напряжённому состоянию могут соответствовать различные пластич. деформации в зависимости от того, какой последовательностью напряжённых состояний оно достигнуто.
Теории пластического течения. В теории пластич. течения устанавливается связь между тензором напряжений и тензором приращений пластич. деформации (или тензором скоростей пластич. деформаций). Приращение полной деформации равно сумме приращений упругой и пластич. деформации Предполагается, что упругая часть деформации связана с напряжениями законом Гука. Теории пластич. течения характеризуются неголоном-ным видом связи между напряжениями и деформациями. Термин "течение" в П. т. имеет смысл, отличный от течения, напр., вязких жидкостей: соотношения теорий пластич. течения не зависят от времени и при фиксиров. нагрузках изменение деформирования пластич. тел не происходит (в противном случае имеет место ползучесть материала).
В П. т. используется понятие пространства напряжений. В шестимерном пространстве напряжений П декартовы координаты соответствуют компонентам тензора напряжений. Любому напряжённому состоянию в пространстве П соответствует вектор напряжений с компонентами В пространстве П определяется поверхность нагружения, ограничивающая все упругие состояния данного элемента тела (т. е. все состояния, к-рые могут быть достигнуты из начального без приобретения остаточных деформаций). Напряжённые состояния, соответствующие точкам поверхности нагружения, соответствуют пределам текучести при сложном напряжённом состоянии. При изменении напряжённого состояния поверхность нагружения изменяет свою форму.
Из опыта известно, что материал, находящийся в любом напряжённом состоянии, можно деформировать, не сообщая ему остаточных деформаций (упругая разгрузка). Поэтому поверхность при изменении своей формы меняется так, что всё время проходит через конец вектора напряжении Если для нек-рого материала напряжённое состояние меняется от до (рис. 3), то поверхность нагружения занимает соответственно положения и При изменении поверхности нагружения так, как показано на рис. 3(а), увеличение предела текучести в одном направлении приводит к понижению его в противоположном направлении. Если поверхность включает в себя поверхность (рис. 3,6), то пределы текучести увеличиваются во всех направлениях. При этом поверхностьможет оставаться гладкой (рис. 3,а,б) или приобретать угл. точку.

Рис. 3. Изменение поверхности нагружения при изменении напряжённого состояния от до а и б - поверхности нагружения остаются гладкими; - вектор приращения пластич. деформации (ортогональный к поверхности нагружения, согласно ассоциированному закону); в - поверхность нагружения приобретает угловую точку, стрелки ограничивают возможные направления вектора приращения пластической деформации (согласно обобщённому ассоциированному закону пластического течения).

Рис. 4. а - вектор ортогонален к поверхности нагружения; для любых неравенство Мизеса выполняется: угол между векторами - и меньше или равен; б - вектор неортогонален к поверхности нагружения. Найдётся такое при котором неравенство Мизеса не выполняется; угол между векторами - ибольше

Аналитич. выражение поверхности нагружения можно записать в виде f = 0. Ф-ция f наз. ф-цией нагружения и может зависеть от компонент напряжений, пластич. деформаций, разл. параметров, связанных с процессами нагружения неголономными дифференциальными или функциональными соотношениями, и др.
Соотношения связи формулируются обычно на основе принципа (постулата) максимума Мизеса: для фиксиров. точки поверхности и действит. компонент скорости пластич. деформации имеет место неравенство где - компоненты действительного напряжённого состояния, а - компоненты любого возможного напряжённого состояния, т. е. лежащего внутри или на поверхности Из принципа Мизеса следуют невогнутость поверхности нагружения и ассоцииров. закон течения, определяющий ортогональность вектора
и поверхности (рис. 4).
Аналитич. выражение связи определяемое ассоцииров. законом пластич. течения, имеет вид

где f - ф-ция нагружения, к-рая в этом случае наз. пластическим потенциалом. Для поверхности нагружения с особенностями (угл. точки, рёбра и т. п.) имеет место теория обобщённого пластич. потенциала и обобщённого ассоцииров. закона течения.
В основу построения П. т. наряду с определением ф-ций нагружения и принципом Мизеса, согласно к-рому варьируются компоненты напряжения (статич. подход), возможно построение П. т., исходящее из определения диссипативной ф-ции и принципа Онсагера, при к-ром варьируются компоненты скорости пластпч. деформации (кинематич. подход). Оба подхода построения П. т. эквивалентны.
Теория идеальной пластичности. В П. т. наиб. развита теория идеальной пластичности. Для идеального пластич. тела поверхность нагружения фиксирована, в этом случае наз. поверхностью пластичности или текучести. Ур-ние поверхности пластичности (текучести) имеет вид и наз. условием пластичности (текучести). Соотношение плоской задачи теории идеальной пластичности даны А. Сен-Венаном (A. Saint-Venant, 1871), использовавшим условие пластичности макс, касательного напряжения:= k, где k - константа материала. В этом случае

где (3) - ур-ния равновесия; (4) - условие пластичности; (5) - условие изотропии, утверждающее совпадение гл. осей тензоров напряжений и скоростей пластич. деформаций; условие несжимаемости; (6) - ф-лы Коши, связывающие компоненты скорости деформации с компонентами скорости перемещений и, v. Характерной особенностью является замкнутость системы трёх ур-ний (3 и 4) относительно трёх неизвестных компонент напряжений . В этом смысле задача является статически определённой. Ур-ния (3 и 4) принадлежат к гиперболич. типу, ортогональные характеристики совпадают с линиями скольжения (линии разрыва скоростей перемещений), наблюдаемыми экспериментально.
В теории идеальной пластичности наряду с условием макс. касательного напряжения используются разл. условия пластичности.
Построение теории идеальной пластичности в общем случае с единым матем. аппаратом (ур-ния гиперболич. типа) имеет место при использовании условия пластичности макс. касательного напряжения и обобщённого ассоцииров. закона пластич. течения.
Для ребра призмы Треска, интерпретирующей в пространстве напряжений пластичности условие Треска, пмеет место выражение

Система шести ур-ний: трёх ур-ний равновесия и трёх ур-ний (7) [недостающие два получаются из (7) круговой перестановкой индексов (х у z)] относительно шести неизвестных компонент напряжений как и в плоском случае, является статически определимой.
Согласно теории обобщённого пластич. потенциала, любое деформиров. состояние может соответствовать ребру призмы Треска.
На основе модели идеально-пластического тела развиты теории технол. задач обработки металлов давлением, несущей способности конструкций оптимального проектирования, приспособляемости, динамики упругопластич. и жёсткопластич. тела и др.

Модели пластических сред. Обобщением теории идеальной пластичности для упрочняющегося материала является теория трансляц. упрочнения (А. Ю. Ишлинский), согласно к-рой происходит смещение поверхности пластичности как твёрдого целого в пространстве напряжений в зависимости от роста пластич. деформаций:

Компоненты в (8) могут интерпретироваться как внутр. упругие микронапряжения. Теория трансляц. упрочнения описывает аффекты приобретённой анизотропии и связанный с ней эффект Баушингера.
Существуют разл. подходы к описанию поведения упрочняющихся пластич. тел. Теории скольжения рассматривают материал как поликристаллич. агрегат с равновероятным распределением форм и размеров зёрен в элементарном объёме тела, в к-ром выделяются преимуществ. линии скольжения. Вклад отд. поверхностей скольжения в пластич. деформирование определяется в нек-рой интегральной форме. Подобные теории могут быть описаны в рамках теории обобщённого пластич. потенциала.

Деформационные теории пластичности. При активном простом (пропорциональном) нагружении соотношения теории малых упругопластич. деформаций (А. А. Ильюшин, 1943) имеют вид

где

Согласно (9), векторы девиаторов напряжений и девиатарое деформаций коллинеарны. Соотношения (10) определяют функциональную зависимость модулей этих векторов, пропорциональность изменения объёма среднему давлению.
Сравнит. простота соотношений теории малых упругопластич. деформаций позволила получить ряд важных результатов при расчётах на прочность и устойчивость деталей конструкций (труб, стержней, пластин, оболочек), дать методы определения динамич. напряжений при продольном ударе стержней и т. д.

Теории упругопластических процессов. В теории сложного непростого, непропорционального нагруже-ния (Ильюшин) аналогично пространству напряжений вводится пятимерное пространство девпатора деформаций В процессе деформирования вектор девиатора деформации описывает кривую, наз. траекторией деформации, внутр. геометрия к-рой описывается четырьмя кривизнами k_i, определяющими т. н. репер Френе, и пятью единичными векторами р_i.
Параметрами, характеризующими процесс деформации, являются: ориентация траектории, её внутр. геометрия (кривизна), скорость деформации, др. механич. и термодинамич. параметры, заданные как ф-ции длины дуги. Вектор напряжений определяется модулем и углами ориентации:

Для определения соотношений связи (11) устанавливают зависимость величин,(где i = 1,..., 5) от параметров произвольного процесса деформации.
Согласно постулату изотропии, для изотропного материала модуль вектора напряжений и углы его ориентации в репере Френе однозначно определяются изменением параметров процесса от его начала до текущего момента, т. е. они являются функционалами, порождаемыми ф-циями k_i и др. параметров. Полное определение функционалов пластичности по данным опыта чрезвычайно затруднительно, и пока предложены способы построения лишь части из них.
Другое свойство пластичности изотропного материала отражает принцип запаздывания: значения углов ориентации вектора напряжений в репере Френе зависят от изменения кривизны не на всей предшествующей траектории деформации, а на последней её части, длина к-рой, характерная для данного материала, наз. следом запаздывания. Это свойство позволило выделить неск. типов процессов (простой деформации, малой кривизны и т. п.), для к-рых соотношения между напряжениями и упругопластич. деформациями установлены конкретно и не содержат функционалов.
Идеи теории упругопластич. процессов реализуются в т. н. эндохронных теориях, использующих зависимости напряжения - деформации в виде функционала.

Лит.: Соколовский В. В., Теория пластичности, 3 изд., М., 1969; Прагер В., X о д ж Ф., Теория идеально пластических тел, пер. с англ., М., 1956; Xилл Р., Математическая теория пластичности, пер. с англ., М., 1956; Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В., Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения, "ПММ", 1958, т. 22, с. 78; Ильюшин А. А., Пластичность. Основы общей математической теории, М., 1963; Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И., Теория упрочняющегося пластического тела, М., 1971; Ревуженко А. Ф., Чанышев А. И., Шемякин Е. И., Математические модели упругопластических тел, в сб.: Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, Новосиб., 1985.

Д. Д. Ивлев.