История одного открытияДнём рождения самых первых источников тока принято считать конец семнадцатого столетия, когда итальянский ученый Луиджи Гальвани совершенно случайно обнаружил электрические явления при проведении опытов по физиологии. Далее... |
производящий функционал
ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ - функционал
функциональные производные к-рого по аргументу
дают изучаемый набор ф-ций
Формально П. ф. представляется рядом
а ф-цииназ.
коэффициентными ф-циями разложения
Функцией, аргумент может быть набором многокомпонентных ф-ций многих переменных:
= =
,
=
1,..., т. Целесообразность введения П. ф. для набора ф-ций
в
том, что многие их свойства переносятся на
и
компактно записываются на языке П. ф. Роль
П. ф. в квантовой теории поля основана на той, что в наиб. употребительном
в ней Фока представлении векторам состояния Ф и операторам
по самому их построению отвечают П. ф. (для простоты берётся случай скалярного
поля)
где-фоковский
вакуум,
-операторы
рождения и уничтожения частиц с 3-импульсом k. П. ф.
наз. нормальным символом оператора
,
а его разложение получается заменой
на
комплексно сопряжённые ф-ции а*, а из нек-рого гильбертова
пространства. При этом Ф[а*] - П. ф. для волновых ф-ций
n-ча-стичных состояний, а А[а*, а] - П. ф. для матричных элементов
оператора
в
фоковском базисе.
В релятивистской теории в качестве функцион.
аргумента берётся нормальный символоператора
свободного поля:
Нормальный символ матрицы рассеяния
является П. ф. её коэффициентных ф-цийПоскольку
как
и
удовлетворяют
ур-нию свободного поля,
и
определены
лишь на поверхности энергии. Для формулировки причинности вводят расширенный
нормальный символ
,
аргумент к-рого уже не удовлетворяет ур-нию свободного поля. В возмущений
теории этот П. ф. выражается ф-лой Хори
где -
причинная ф-ция Грина (пропагатор),
- нормальный символ лагранжиана взаимодействия. Эта ф-ла компактно записывает
результат применения Вика теоремы к стандартному выражению для S-матрицы
в теории возмущений:
Заменой функцион. аргумента у
можно получить П. ф. для Грина функций
где J(x)- внеш. источник поля. Функционал
W[J] = = ln Z[J] является П. ф. для связных ф-ций Грина. Лежандра
преобразование W[J] даёт П. ф. для сильно связных ф-ций Грина, называемый
иногда эфф. действием. На языке П. ф. легко выводятся и компактно формулируются
У орда тождества и нек-рые др. соотношения между ф-циями Грина.
П. ф. используется и в статистической физике. Напр., введём s-частичные ф-ции распределения N-ча-стичной
системы:
где V - объём,,
а полная ф-ция распределения wN
удовлетворяет Лиувилля уравнению
-
=
с Гамильтона функцией H =
I
+
.
Тогда всю цепочку Боголюбова уравнений для
порождает
(в термодинамич. пределе V, N
,
V/N =
= const)
ур-ние
для П. ф.
а самивыражаются
через него ф-лами
Лит.: Березин F. А., Метод вторичного
квантования, 2 изд., М., 1986; Васильев А. Н., Функциональные методы в квантовой
теории поля и статистике, Л., 1976; Славнов А. А.,Фаддеев Л. Д., Введение в
квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988; Ициксон К., 3 ю-. бер
Ж--Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, М., 1984.
А. М. Малокостов, В. П, Павлов,