простая волна

ПРОСТАЯ ВОЛНА (волна Римана) - волна, каждая точка профиля к-рой распространяется с пост. скоростью и, зависящей от значения волнового поля y в этой точке. Такие процессы характерны для нелинейных сред без дисперсии (см. Волны). Одномерная П. в. описывается выражением

где F - нек-рая ф-ция, определяемая начальным условием. На плоскости переменных х, t значение y в П. в. сохраняется на прямых

наз характеристиками. Различным зависимостям u(y) соответствуют несколько типов П. в. Если и не зависит от y (линейное приближение), то П. в. распространяется без изменения формы. В общем же случае профиль П. в. деформируется.

Пример - движение сжимаемого газа, возбуждаемое поршнем в трубе. В газе существуют две П. в., распространяющиеся со скоростями где скорость частиц, а с - местная скорость звука, зависящая от плотности в данной точке профиля волны. Если поршень выдвигается из трубы, то в ней возникает П в разрежения в виде расширяющихся по координате c перепадов давления, плотности, скорости частиц и т. д. Если же поршень вдвигается в трубу ускоренно с дозвуковой скоростью, то перед ним распространяется П. в. сжатия, к-рая непрерывно сокращается вплоть до образования участка с бесконечной крутизной профиля, что соответствует пересечению характеристик (рис.). В дальнейшем в волне (1) должна была бы образоваться неоднозначность - "перехлест" или "опрокидывание" волны сжатия, но в данном примере это не имеет физ. смысла. На самом деле исходные ур-ния динамики идеального газа, из к-рых следует решение (1), становятся непригодными в области резких изменений состояния, и в результате вместо неоднозначности возникает резкий скачок параметров - ударная волна ,в к-рой существенную роль играют дис-сипативные процессы (вязкость и теплопроводность среды). Движение за фронтом ударной волны уже не будет П. в. из-за отражений возмущений от фронта скачка; лишь при достаточно малой его интенсивности отражения пренебрежимо малы (см. Нелинейная акустика).

Зволюция скорости частиц в волне, возникающей при ускоренном вдвигании поршня (а); штриховкой обозначено положение поршня в последовательные моменты времени. Соответствующий вид (б) характеристики на плоскости х, t; a, - траектория поршня, x_* и t_* - координата и момент образования разрыва.

В П. в. возмущения разл. величин являются ф-циями друг друга; эта связь выражается инвариантами Римана ; в каждой из П. в. один из инвариантов постоянен. Малые возмущения величинраспространяются в среде только вдоль характеристик (2). В газовой динамике имеются два инварианта Римана = В случае идеального политропного газа, характеризуемого показателем политропы g,

Понятие11. в. применяется и к стационарным двумерным движениям (напр., плоским течениям газа), тогда в ф-лах (1) и (2) вместо х и t аргументами служат координаты х и у.

Движение среды вблизи границы с областью пост. течения (без разрыва на границе) есть П. в.

Аналогичными свойствами обладают П. в. в др. физ. системах. Однако распространение волны сжатия не всегда приводит к образованию ударной волны в виде монотонной "ступеньки". В общем случае на участках большой крутизны профиля вступает в силу не только диссипация, но и дисперсия, к-рая приводит к появлению осцилляции. Так в эл--магн. системах (плазме, эл--магн. линиях с ферритом) возникает ударный перепад с осцилляциями, а в отсутствие потерь - система солитонов .В ряде случаев образование неоднозначности ("перехлёст") имеет реальный физ. смысл. Так, если и - скорость объектов, движущихся с пост. скоростями без взаимодействия (кинематич. волны), напр. частиц в разреженном пучке, то "перехлёст" означает просто обгон одних объектов другими.

Ф-лой (1) может быть описано поведение частоты в частотно-модулированной волне, распространяющейся в среде с дисперсией (тогда и - групповая скорость), или компонент волнового вектора в двумерной геомет-рич. оптике; в последнем случае прямые (1) соответствуют лучам, а их пересечение - образованию каустик или фокусов.

Лит.: Ландау Д., Л., Лифшиц E. М., Гидродинамика, 4 изд., М., 1988; Курант Р., Fридрихс К., Сверх, звуковое течение и ударные волны, пер. с англ., М., 1950· Кадомцев Б. Б., Коллективные явления в плазме, М., 1975; Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984. Л, А. Островский,

   <<      Предметный указатель      >>