протекания теория

ПРОТЕКАНИЯ ТЕОРИЯ (перколяции теория, от лат. percolatio - процеживание; просачивания теория) - матем. теория, к-рая используется в физике для изучения процессов, происходящих в неоднородных средах со случайными свойствами, но зафиксированными в пространстве и неизменными во времени. Возникла в 1957 в результате работ Дж. Хаммерсли (J. Hammersley). В П. т. различают решёточные задачи П. т., континуальные задачи и т. н. задачи на случайных узлах. Решёточные задачи в свою очередь делятся на т. н. задачи узлов н задачи связей между ними.

Задачи связей. Пусть связи - рёбра, соединяющие соседние узлы бесконечной периодич. решётки (рис., о). Предполагается, что связи между узлами могут быть двух типов: целыми или разорванными (блокированными). Распределение целых и блокированных связей в решётке случайно; вероятность того, что данная связь является целой, равна х. Предполагается, что она не зависит от состояния соседних связей. Два узла решётки считаются связанными друг с другом, если их соединяет цепочка целых связей. Совокупность связанных друг с другом узлов наз. кластером. При малых значениях x целые связи, как правило, далеки друг от друга и доминируют кластеры из небольшого кол-ва узлов, однако с увеличением x размеры кластеров резко увеличиваются. Порогом протекания (х_c)наз. такое значение х, при к-ром впервые возникает кластер из бесконечного числа узлов. П. т. позволяет вычислить пороговые значения х_с, а также исследовать топологию крупномасштабных кластеров вблизи порога (см. Фракталы С ).помощью П. т. можно описать электропроводность системы, состоящей из проводящих и непроводящих элементов. Напр., если предположить, что целые связи проводят электрич. ток, а блокированные не проводят, то окажется, что при х < х_с уд. электропроводность решётки равна О, а при х > х_с она отлична от 0.

Протекание по решётке: а - задача связей (путь протекания сквозь указанный блок отсутствует); б - задача узлов (показан путь протекания).

Решёточные задачи узлов отличаются от задач связей тем, что блокированные связи распределены на решётке не поодиночке - блокируются все связи, выходящие из к--л. узла (рис., б). Блокированные таким способом узлы распределены на решётке случайно, с вероятностью 1 - х. Доказано, что порог х_с для задачи связей на любой решётке не превышает порога х_с для задачи узлов на той же решётке. Для нек-рых плоских решёток найдены точные значения х_с. Напр., для задач связей на треугольной и шестиугольной решётках х_с = 2sin(p/18) и х_с=1 - 2sin(p/18). Для задачи узлов на квадратной решётке х_с = 0,5. Для трёхмерных решёток значения х_с найдены приближённо с помощью моделирования на ЭВМ (табл.).

Пороги протекания для различных решёток

Континуальные задачи. В этом случае вместо протекания по связям и узлам рассматриваются явления переноса в неупорядоченной сплошной среде. Во всём пространстве задаётся непрерывная случайная ф-ция координат . Зафиксируем нек-рое значение ф-ции и назовём области пространства, в к-рых чёрными. При достаточно малых значениях эти области редки и, как правило, изолированы друг от друга, а при достаточно больших они занимают почти всё пространство. Требуется найти т. н. уровень протекания- мин. значение при к-ром чёрные области образуют связанный лабиринт путей, уходящий на бесконечное расстояние. В трёхмерном случае точное решение континуальной задачи пока не найдено. Однако моделирование на ЭВМ показывает, что для гауссовых случайных ф-цийв трёхмерном пространстве придоля объёма, занимаемая чёрными областями, приолижённо равно 0,16. В двумерном случае доля площади, занимаемая чёрными областями при, точно равна 0,5.

Задачи на случайных узлах. Пусть узлы не образуют правильную решётку, а случайно распределены в пространстве. Два узла считаются связанными, если расстояние между ними не превышает фиксированное значениеЕслимало по сравнению со ср. расстоянием между узлами, то кластеры, содержащие 2 или больше связанных друг с другом узлов, редки, однако число таких кластеров резко растёт с увеличением г и при нек-ром критич. значении возникает бесконечный кластер. Моделирование на ЭВМ показывает, что в трёхмерном случае0,86, где N - концентрация узлов. Задачи на случайных узлах и их разл. обобщения играют важную роль в теории прыжковой проводимости.

Эффекты, описываемые П. т., относятся к критическим явлениям, характеризующимся критич. точкой, вблизи к-рой система распадается на блоки, причём размер отд. блоков неограниченно растёт при приближении к критич. точке. Возникновение бесконечного кластера в задачах П. т. во многом аналогично фазовому переходу второго рода. Для матем. описания этих явлений вводится параметр порядка ,к-рым в случае решёточных задач служит доля Р(х)узлов решётки, принадлежащих к бесконечному кластеру. Вблизи порога протекания ф-ция Р(х)имеет вид

где - численный коэф., b - критич. индекс параметра порядка. Аналогичная ф-ла описывает поведение уд. электропроводности s(х)вблизи порога протекания:

где В₂ - численный коэф., s(1) - уд. электропроводность при c = 1, f - критич. индекс электропроводности. Пространственные размеры кластеров характеризуются радиусом корреляции R(x), обращающимся в

при

Здесь B₃ - численный коэф., а - постоянная решётки, v - критич. индекс радиуса корреляции.

Пороги протекания существенно зависят от типа задач П. т., но критич. индексы одинаковы для разл. задач и определяются лишь размерностью пространства d (универсальность). Представления, заимствованные из теории фазовых переходов 2-го рода, позволяют получить соотношения, связывающие различные критич. индексы. Приближение самосогласованного поля применимо к задачам П. т. при d > 6. В этом приближении критич. индексы не зависят от d; b = 1, =¹/₂.

Результаты П. т. используются при изучении электронных свойств неупорядоченных систем, фазовых переходов металл - диэлектрик, ферромагнетизма твёрдых растворов, кинетич. явлений в сильно неоднородных средах, физ--хим. процессов в твёрдых телах и т. д.

Лит.: Мотт Н., Дэвис Э., Электронные процессы в некристаллических веществах, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1982; Шкловский Б. И., Эфрос А. Л., Электронные свойства легированных полупроводников, м., 1979; 3 а й-ман Д. М., Модели беспорядка, пер. с англ., М., 1982; Эфрос А. Л., Физика и геометрия беспорядка, М., 1982; Соколов И. М., Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания, "УФН", 1986, т. 150 с. 221. А. Л. Эфрос.

   <<      Предметный указатель      >>