равновесия состояние

РАВНОВЕСИЯ СОСТОЯНИЕ динамической системы - состояние динамической системы, к-рое не изменяется во времени. Р. с. может быть устойчивым, неустойчивым и безразлично-устойчивым. Движение системы вблизи равновесия (при малом от него отклонении) существенно различается в зависимости от характера (типа) Р. с. В случае систем с одной степенью свободы, если Р. с. устойчиво, то при малом возмущении (отклонении) система возвращается к нему, совершая затухающие колебания (на фазовой плоскости такому движению соответствует устойчивый фо-кус - рис. 1, а)или двигаясь апериодически (устойчивый узел - рис. 2, а). Вблизи неустойчивого Р. с. малые отклонения системы нарастают, при этом система совершает колебания (неустойчивый фокус - рис. 1, б)или движется апериодически (неустойчивый узел - рис. 2, б); вблизи седлового Р. с. (рис. 3) возможно вначале приближение к Р. с., а затем уход от него. Наконец, в случае безразлично-устойчивого Р. с. ("центр", рис. 4) малые отклонения приводят к незатухающим колебаниям вблизи Р. с. Для систем с неск. степенями свободы движение системы вблизи Р. с. может быть более сложным и существенно зависит от характера начального отклонения.

Рис. 1. Поведение траекторий в окрестности устойчивого (а) и неустойчивого (б) фокусов; здесь n = 2, =; а < 0 (а) и а > 0 (б).

Рис. 2. Траектории в окрестности устойчивого (а) и неустойчивого (б) узлов; l₂ < l₁ < О (а), 0 < l₂ < l₁ (6).

Рис. 3. Состояние равновесия типа "седло".

рис. 4. Замкнутые траектории в окрестности точки типа "центр".

Движение динамич. системы вблизи Р. с. чаще всего описывается линеаризов. ур-ниями, имеющими решение в виде сумм экспонент с комплексными (в общем случае) характеристич. показателями l_i - корнями характеристич. ур-ния: det(A-lE)=0, где а Xi - правая часть дифференц. ур-ний, описывающих исследуемую систему:

х_* - решение, отвечающее равновесию, Х(х_*)= 0. Если Rel_k < 0 (Rel_k > 0), то Р. с. асимптотически устойчиво (неустойчиво) и через все точки в окрестности х_* проходят траектории, стремящиеся к x_* при t : , (t : -,),- рис. 1.

Если Rel_k < 0, k=1,..., т, Rel_k> 0, j = = т + 1, ..., n, то Р. с.- "седло"; траектории, стремящиеся к нему при t : , (t : -,), лежат на устойчивом (неустойчивом) многообразии - многомерной сепаратрисе размерности т (п - т) - рис. 5.

Рис. 5. "Седло" в трёхмерном фазовом пространстве; l₂ < < l₁ < 0, l₃ > 0; W^S - двумерное устойчивое, W^U - одномерное неустойчивое многообразия.

В консервативных (в частности, гамильтоновых) динамич. системах устойчивыми (по Ляпунову) могут быть лишь Р. с. с чисто мнимыми или нулевыми l_k, . Напр., незатухающие колебания шарика в "потенциальной яме" (рис. 4) описываются движением точки по замкнутой траектории в окрестности Р. с. типа "центр", для к-рого

Если динамич. система зависит от параметра, то (даже и в неконсервативном случае) при его изменении Rel_k может обратиться в нуль, и тогда Р. с. может претерпевать бифуркации, связанные с потерей (приобретением) устойчивости или с изменением размерности его сепаратрис (см. также Устойчивость движения).

Лит.: Андронов А. А., Витт А. А., Хай, кин С. 9., Теория колебаний, 3 изд., М., 1981; Бау-тин Н. Н., Леонтович E. А., Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости, М.,

1976; Арнольд В. И,, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978..

В. С. Афраймович, М. И. Рабинович.

   <<      Предметный указатель      >>