распределение

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - осн. понятие вероятностей теории и матем. статистики. Р. полностью характеризует случайную величину. Пусть x - дискретная случайная величина, принимающая (конечное или бесконечное) счётное множество значений {x_n}. Если вероятность реализации значения х_п равна Р_п, т. е. Р(х = х_п)= Р_п, то множество значений вероятностей Р_п наз. дискретным Р. вероятности. Вероятности Р_п удовлетворяют условиям Предположим, что вероятность рассеяния частицы на мишени равна р. Тогда регистрируемое число рассеянных частиц n - дискретная случайная величина, Р. к-рой является биномиальным распределением:

где N - число частиц, брошенных на мишень.

Пусть теперь x - непрерывная случайная величина, принимающая любое значение из интервала [x_min, x_max]. Если вероятность реализации значения равна т. е. то F(x) наз. ф-цией распределения, a f(x), определяемая равенством

наз. ф-цией плотности вероятности или просто Р. Из определения F(x)следует, что

т. е. f(x)имеет смысл плотности вероятности на единицу длины. Примером непрерывного Р. является Максвелла распределение по скоростям u_x, u_y, u_z частиц макроскопич. системы, находящейся в статистич. равновесии:

где т - масса частицы, Т - абс. темп-pa. Это Р. является частным случаем многомерного Гаусса распределения.

Наряду с ф-цией плотности вероятности часто используют её фурье-преобразование, наз. характеристической функцией F случайной величины; для дискретной величины

для непрерывной величины

где М - матем. ожидание. Характеристич. ф-ция полностью определяет Р. случайной величины и часто является более удобным средством её описания. Для дискретной случайной величины х_п с помощью замены Z = exp(it) часто переходят от характеристич. ф-ции к производящей ф-ции (см. Производящий функционал:)

Др. способом описания случайной величины является задание её моментов

или центральных моментов

При довольно общих предположениях набор моментов полностью определяет Р. Приведём нек-рые Р., часто используемые в физике и матем. статистике (см. также Коши распределение, Полиномиальное распределение, Пуассона распределение, Устойчивые распределения). Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля). Это Р. даёт вероятность затраты r попыток для достижения т успешных попыток. Если p - вероятность успешной попытки, то вероятность r равна

ср. значение

дисперсия

производящая ф-ция

-распределение. Пусть y_i - независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному Р. с нулевым ср. значением и единичной дисперсией, и пусть

Тогда ф-ция плотности вероятности

ср. значение

дисперсия

характеристич. ф-ция

Величину n наз. числом степеней свободы. Если х_п и х_т имеют независимые c²-распределения с n и m степенями свободы соответственно, то сумма х_(k) = ⁼ x_(n)+x_(m) имеет c²-pаспределениe с k = n + m степенями свободы. При n > 30 c²-распределение близко к нормальному с теми же ср. значением и дисперсией. Если независимые величины у_i принадлежат нормальному Р. со средними m_i и единичными дисперсиями, то x имеет нецентральное c²-распределение с n степенями свободы, к-рое обозначают c²(n, D), где

- параметр нецентральности. Характеристич. ф-цияравна

c²-распределение находит широкое применение в проверке статистических гипотез.

Распределение Стьюдента, t-pаспределение. Пусть у_i, i = 1, ..., n - случайные величины, имеющие нормальные Р. со средним m и дисперсией s², тогда величина

где

подчиняется распределению Стьюдента с ф-цией плотности вероятности

ср. значением

дисперсией

моментами

При n : , распределение Стьюдента приближается к нормальному Р. с нулевым средним и единичной дисперсией. С его помощью можно вычислить доверительные интервалы, для m и статистические критерии проверки гипотез.

Экспоненциальное распределение. Пусть c - положит. случайная величина, l - положит. параметр, ф-ция плотности вероятности экспоненциального Р.

ср. значение

дисперсия

характеристич. ф-ция

Экспоненциальному Р. подчиняется, напр., время жизни радиоакт. ядер.

Гамма-распределение. Пусть c - положит. случайная величина, а, b - положит. параметры, ф-ция плотности вероятности гамма-распределения равна

ср. значение

дисперсия

характеристич. ф-ция

При b = 1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным Р., а при b = n/2, a = ¹/₂ - с c²-распреде-лением с n степенями свободы.

Логарифмически нормальное распределение. Пусть x - положит. случайная величина, логарифм к-рой отвечает нормальному Р. со средним m и дисперсией s², тогда ф-ция плотности вероятности

ср. значение

дисперсия

Лит.: Fеллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 3 изд., т. 1-2, М., 1984; Прохоров Ю. В., Pозанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; Статистические методы в экспериментальной физике, пер. с англ., М., 1976; Справочник по теории вероятностей и математической статистике, 2 изд., М., 1985; Боровков А. А., Математическая статистика, М., 1984. В. П. Жигунов.

   <<      Предметный указатель      >>