расслоение

РАССЛОЕНИЕ (расслоённое пространство) - одна из фундам. структур, изучаемых в топологии. В совр. физике, гл. обр. в теории элементарных частиц, концепция Р. и ассоциированных с ним матем. структур (связность и т. п.) является наиб. адекватным языком для исследования нетривиальной топологии, возникающей при попытках описания взаимодействия между пространственными и внутренними степенями свободы физ. системы. Этот язык оказался полезным уже в простейших случаях, напр. в электродинамике, где нетривиальность топологии проявляется, в частности, в Ааронова - Бома эффекте. В неабелевых теориях калибровочных полей (типа Янга - Миллса полей)язык Р. вообще представляется единственно возможным при любых попытках выйти за рамки возмущений теории.

Расслоение x = (Е, р, F, В)- составной объект, включающий следующие элементы: пространство Е - пространство Р.; пространство В - базу Р.; непрерывное отображение (проекцию) p: E : В; пространство F - слой отображения. Над каждой точкой xВ можно определить полный прообраз F_x = р^-1(х)Е. Множество F_x наз. слоем над точкой х. Слои над разл. точками должны быть гомеоморфными друг другу. Т. о., понятие слоя определено независимо от точек базы В. Размерностью Р. наз. размерность слоя F.

Локально Р. устроено как прямое произведение ВF, т. е. для каждой точки cВ должны существовать окрестность V, cV с В и гомеоморфизм f, так что

В Р. можно определить обратное к r непрерывное отображение такое, что ps(x)= c для любой точки cВ. Отображение s наз. сечением в Р. пространства Е. Сечением прямого произведения служат графики ф-ций.

Наиб. интересные и важные в приложениях примеры связаны с Р., у к-рых в слое определ. образом действует группа G преобразований (гомеоморфизмов) слоя F. Группа G наз. структурной группой Р. Классич. примером нетривиального (отличного от прямого произведения) Р. является лист Мёбиуса т¹. Базой Р. m¹ служит окружность S¹, а слоем F - единичный отрезок I. В слое F действует циклич. группа Z₂. Действие G = Z₂ задаётся в виде

Нетривиальное действие (1) группы Z₂ в слое F листа Мёбиуса определяет глобальное отличие Р. m¹ от тривиального (прямого произведения) Р. (цилиндра), где действие группы Z₂ тривиально (тождественно).

Интуитивно Р. можно представить как объединение слоев р^-1(х), cВ, параметризованных точками базы и "склеенных" под действием группы преобразований слоев G (или более общо - топологией пространства Е). Если действие G тривиально, то получаем тривиальное Р.

Можно выделить два наиб. важных класса Р.

Векторные расслоения. Векторными Р. наз. Р. xⁿ, у к-рых слой есть векторное пространство Q ,а группа G действует как подгруппа GL(n, Q)группы всех линейных преобразований Q. Наиб. существ. примерами являются вещественные Р., , и комплексные Р., , . На векторных Р. вводятся ал-гебраич. операции, характерные для векторных пространств,- тензорное произведение Р. и операция сложения, требующая более тонких рассмотрений и называемая в теории Р. операцией Уитни.

Пример. Множество всех касательных векторов к двумерной поверхности М² образует двумерное векторное Р. (касательное Р.) x² = ТМ². Векторное поле на М² определяет сечение в Р. ТМ². Классич. теорема Пуанкаре утверждает, что единственное замкнутое многообразие М², допускающее гладкое касательное поле без особенностей на М², - тор Т². Нетрудно доказать, что теорема Пуанкаре включает следующее утверждение: только касательное Р. к Т² есть прямое произведение.

Главные расслоения. Р. x наз. главным, если слой Р. совпадает с группой G.

Пример. Рассмотрим тройку x = (G, H, G/H). Здесь G - группа Ли, H - замкнутая подгруппа, G/H - фактор-пространство. Можно показать, что x является Р. с базой G/H, слоем H и пространством P. G,

В частности, если G = SO(n), а H = SO(n - 1), то G/H = S^n-1.

Р. можно построить и в более общем случае Здесь H и Н₁- замкнутые подгруппы в G и H соответственно. Тройка (G/H₀, H₁/H₀, G/H)является Р. (H₀ - наиб. нормальный делитель группы Н, принадлежащий Н₁). Наиб. важный пример Р. этого типа:

. Это Р. наз. пучком сфер. Базой является пространство ортонормированных k-реперов в n-мерном пространстве Штифеля. Аналогично можно рассмотреть Р. с базой комплексного пространства Штифеля: SU(n)/SU(n - k).

Р. с дискретным слоем F наз. накрытием. Напр., вещественная прямая R¹ служит накрытием над окружностью S¹, R¹ : S¹, слой F = Z.

Расслоение Хопфа. Классич. расслоение Хопфа задаётся отображением p : S³ : S², а слой F = G = S¹. Определим S³ как множество пар комплексных чисел (z₁, z₂) с условием |z₁|² + |z₂|² = 1. Поставим в соответствие паре (z₁,z₂) число w = z₁/z₂. Если z₂ = 0, то положим w = ,. Множество {w} образует пополненную бесконечно удалённой точкой комплексную плоскость . Т. к. точки = (exp(if)z₁, exp(if)z₂)

и (z₁, z₂) отображаются в одну и ту же точку w, то слой F = S¹. С классич. расслоением Хопфа и его обобщениями связаны фундам. достижения в математике. Напр., доказано, что существование только четырёх алгебр с делением эквивалентно утверждению о существовании только четырёх главных Р. вида

. В физике расслоение Хопфа возникает при описании монополя Дирака.

В топологии разработаны спец. конструкции, позволяющие детально изучать глобальные характеристики расслоённых пространств. Осн. аппаратом является теория характеристич. классов.

Расслоение в физике. Теория Р. находит применение в ряде разделов теории поля, теории конденсиров. сред и гравитации. Наиб. интересны применения теории Р. в теории калибровочных полей, где Р. являются геом. конструкцией, адекватной идее калибровочного поля; точнее, калибровочное поле есть связность в главном Р. со структурной группой G, определяющей калибровочные преобразования. Напр., в классич. электродинамике группа G ~ U(l), а в теории Янга - Миллса G - полупростая группа Ли [G = S0(2), SU(2) x U(1) и т. п.].

Фундам. вопросы теории калибровочных полей допускают геом. формулировку. Напр., согласно физ. принципу относительности, реальной физ. конфигурации отвечает класс калибровочно эквивалентных конфигураций. Условие выбора однозначного представителя в каждом классе эквивалентных конфигураций, необходимое при вычислении континуальных интегралов, эквивалентно построению сечения в соответствующем Р. Можно показать, что локально такие сечения всегда существуют. Однако глобальных сечений (калибровок) построить нельзя. Этот важный результат (гри-бовские неоднозначности) следует из чисто тополо-гич. рассмотрений [теорема И. М. Зингера (I. M. Singer)]. При доказательстве теоремы Зингера используется техника бесконечномерных Р.

Ряд важных физ. явлений допускает геом. интерпретацию, использующую понятие редукции Р. Напр., теорию Максвелла рассматривают над физ. пространством Минковского - M⁴. Поля Максвелла определены над топологически тривиальным (стягиваемым) пространством. Если же включить в теорию магнитные монополи (частицы с магн. зарядом, заданные в фиксиров. точках пространства M⁴), то получим поля Максвелла над нестягиваемым пространством, напр. над S² (при наличии одного монополя). Др. пример редукции Р. связан с возможностью построения спец. классов полей и тем самым ур-ний на многообразиях. Многообразие наз. спи-норным (обладает спинорной структурой), если структурная группа его касательного Р. может быть редуцирована от группы SO(n)к Spin(n). Необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль топологич. инварианта (характеристич. класса), т. н. 2-го класса Штифеля - Уитни w₂. Напр., комплексное проективное пространствоимеет спинорную структуру только при нечётном п. Наличие спинорной структуры позволяет ввести на многообразии аналог Дирака уравнения. К изучению ур-ний Дирака на га-мерных Р. приводят совр. проблемы аномалий в квантовой теории, разл. модификации теоремы об индексе Атьи - Зингера и т. п.

Новые приложения теория Р. получила в теории гравитации. Хотя гравитац. поле и не представляется в виде калибровочного поля (по типу эл--магн. поля или поля Янга - Миллса), использование спец. класса Р.- твисторов Пенроуза позволяет продвинуться в решении совр. проблем квантовой гравитации.

Лит.: Стинрод Н., Топология косых произведений, пер. с англ., М., 1953; Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986; Мил-нор Д., Сташеф Д., Характеристические классы, пер. с англ., М., 1979; Твисторы и калибровочные поля. Сб. ст., пер, с англ., М., 1983; Геометрические идеи в физике. Сб. ст., пер, с англ., М., 1983; IIIутц Б., Геометрические методы математической физики, пер. с англ., М., 1984. М. И. Монастырский,

   <<      Предметный указатель      >>