регуляризация расходимостей

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РАСХОДИМОСТЕЙ в кванто-вой теории поля (КТП) - вспомогат. операция, заключающаяся в замене пропагаторов или интегралов от их произведений (соответствующих локальной КТП) на нек-рые аппроксимирующие их выражения, не содержащие ультрафиолетовых расходимостей или соответствующих им в координатном представлении сингулярностей на световом конусе. Такие регуляри-зованные интегралы явно вычисляют (в импульсном представлении), а затем уже в вычисленных выражениях производят операцию, обратную введению регуляризации, т. е. переходят к реальному физ. пределу. УФ-сингулярности при этом выделяются в виде аддитивных составляющих, имеющих простую (напр., полиномиальную) структуру по внеш. импульсам.

Необходимость Р. р. наиб. просто увидеть в х -представлении. В квантовополевых расчётах приходится иметь дело с произведениями пропагаторов D(x), обладающих сингулярностями типа полюса 1/х² и дельта-функции Дирака по квадрату 4-мерного интервала х² = (x⁰)² - х² [здесь х(х⁰, х)- точка пространства-времени; используется система единиц, в к-рой ђ = с = 1]. Ясно, что квадраты и более высокие степени таких сингулярностей [напр., d²(x²)] не определены математически даже в смысле обобщённых функций. Для соответствующего доопределения удобно иметь регулярные (т. е. не имеющие особенностей) приближения к D или к произведениям нескольких D. Такие приближения и получают посредством вспомогательной Р. р.

В квантовополевых вычислениях по теории возмущений получили распространение неск. разл. регуляризации. Среди них наиб. употребительны следующие.

Регуляризация обрезанием состоит во введении конечного верхнего предела L (называемого также импульсом обрезания) при интегрировании по 4-импульсам виртуальных частиц. Так, напр., фейнмановский интеграл, отвечающий простейшей, однопетлевой, диаграмме поляризации вакуума (рис.) в квантовой электродинамике

при регуляризации обрезанием принимает вид

где символ |p| < L под знаком интеграла обозначает, что по всем четырём компонентам 4-импульса p интегрирование проводится в пределах от - L до + L. В приведённых ф-лах - поляризационный оператор,- Дирака матрицы (m = 0, 1, 2, 3), пропагатор электрона в импульсном представлении (см. Фейнмана диаграммы).

Диаграмма вакуумной поляризации фотона; k, p, p - k - 4-импульсы соответственно фотона и виртуальных электрона и позитрона.

Вычисление по ф-ле (2) с помощью стандартной техники даёт явное выражение, к-рое в пределе больших (по сравнению с массой электрона т и модулем внеш. импульса k =значений L имеет вид

где - полином 2-й степени по компонентам 4-век-торас коэф., пропорц. L² и 1n(L²), а- конечная ф-ция оти m². Её явный вид несуществен. Отметим лишь, что при больших k² она имеет логарифмич. асимптотику

где - метрич. тензор пространства-времени Мин-ковского. Представление (3) оказывается удобным для проведения перенормировки ,т. е. устранения бесконечностей. Результативно она сводится к вычитанию из правой части (3) первого, сингулярного в пределе L :, слагаемого. Поскольку разбивание reg_LП на слагаемые P и содержит произвол, то возникает вопрос о степени однозначности определения конечной части поляризац. оператора. Одно из условий, к-рому должно удовлетворять ,- условие поперечности (k) = 0, вытекающее из требования калибровочной инвариантности. Это условие диктует тензорную структуру матрицы

где p(k²) - нек-рая скалярная ф-ция от k². Как можно показать, после этого остаётся ещё однопараметрич. произвол, к-рый, напр., можно фиксировать условием p(0) = 0.

Регуляризация Паули - Вилларса представляет собой специфическую модификацию одночастичного пропагатора. Её простейший вариант сводится к вычитанию из пропагатора D_m для нек-рого квантового поля массой т такого же пропагатора, но соответствующего большой фиктивной массе М:

Так, напр., в импульсном представлении для скалярного поля

Как видно, Р. р. Паули - Вилларса существенно меняет поведение пропагаторов в УФ-области при или, что эквивалентно, в окрестности светового конуса [где регуляризация типа (6) убирает наиб. сильные, не зависящие от массы сингулярности по переменной х²]. В квантовой электродинамике в целях сохранения калибровочной инвариантности применяют особый вариант Р. р. Паули-Вилларса, при к-ром замкнутые электронные циклы регуляризуют как целое. Так, напр., при Р. р. диаграммы, изображённой на рис., подинтегральное выражение в правой части (1) регуляризуют целиком, т. е. путём вычитания из него аналогичного выражения, в к-ром в пропагаторах S^c вместо массы электрона т стоит большая вспомогат. масса М. Такая процедура приводит к выражению, к-рое в пределе больших значений регуляризующей массы М имеет структуру, подобную (3), причём вместо первого слагаемого в правой части стоит полином 2-й

степени по k с коэф., сингулярно зависящимиот М. Размерная регуляризация состоит в таком изменении правил интегрирования по виртуальным импульсам, к-рое формально соответствует переходу к нецелому числу измерений D = 4 - e, отличному от 4 на бесконечно малую величину e:

Не вдаваясь в техн. детали, отметим, что результат интегрирования (7) в пределе e : О представим в виде (3), где вместо первого слагаемого правой части стоит полиномс коэф., содержащими сингулярности типа 1/e. Техн. преимущество размерной Р. р. состоит в том, что она сохраняет свойства симметрии и соответствующей инвариантности нерегуляризованных выражений. В используемом примере речь идёт о калибровочной инвариантности эл--магн. поля. Результат явного вычисления выражения (7) удовлетворяет свойству поперечности, т. е. размерно регуляризован-ный поляризац. оператор пропорционален поперечному тензору: в то время как выражение (2) этим свойством не обладает.

Лит.: Pauli W., Vi11аrs F., On the invariant regula-rization in relavistic quantum theory, "Rev. Mod. Phys.", 1949, v. 21, p. 434; 't Hooft G.,Veltman M., Regularization and renormalization of gauge fields, "Nucl. Phys.", 1972, v. В44, p. 189; Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Квантовые поля, М., 1980, p 23. Д. В. Ширков.

   <<      Предметный указатель      >>