Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
НАНОЧАСТИЦЫ ПРИХОДЯТ НА ПОМОЩЬ
Ученых волнует вопрос, насколько надежно защищены космонавты от больших доз радиации (ведь они лишаются естественного защитного «зонтика» – магнитного поля Земли). Особенно актуальна эта проблема в случае возможных пилотируемых полетов на Луну или Марс. Даже специально разработанные материалы не смогут полностью обезопасить от космической радиации. Далее...

регуляризация расходимостей

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РАСХОДИМОСТЕЙ в кванто-вой теории поля (КТП) - вспомогат. операция, заключающаяся в замене пропагаторов или интегралов от их произведений (соответствующих локальной КТП) на нек-рые аппроксимирующие их выражения, не содержащие ультрафиолетовых расходимостей или соответствующих им в координатном представлении сингулярностей на световом конусе. Такие регуляри-зованные интегралы явно вычисляют (в импульсном представлении), а затем уже в вычисленных выражениях производят операцию, обратную введению регуляризации, т. е. переходят к реальному физ. пределу. УФ-сингулярности при этом выделяются в виде аддитивных составляющих, имеющих простую (напр., полиномиальную) структуру по внеш. импульсам.

Необходимость Р. р. наиб. просто увидеть в х -представлении. В квантовополевых расчётах приходится иметь дело с произведениями пропагаторов D(x), обладающих сингулярностями типа полюса 12 и дельта-функции Дирака по квадрату 4-мерного интервала х2 = (x0)2 - х2 [здесь х(х0, х)- точка пространства-времени; используется система единиц, в к-рой ђ = с = 1]. Ясно, что квадраты и более высокие степени таких сингулярностей [напр., d2(x2)] не определены математически даже в смысле обобщённых функций. Для соответствующего доопределения удобно иметь регулярные (т. е. не имеющие особенностей) приближения к D или к произведениям нескольких D. Такие приближения и получают посредством вспомогательной Р. р.

В квантовополевых вычислениях по теории возмущений получили распространение неск. разл. регуляризации. Среди них наиб. употребительны следующие.

Регуляризация обрезанием состоит во введении конечного верхнего предела L (называемого также импульсом обрезания) при интегрировании по 4-импульсам виртуальных частиц. Так, напр., фейнмановский интеграл, отвечающий простейшей, однопетлевой, диаграмме поляризации вакуума (рис.) в квантовой электродинамике

4033-31.jpg

при регуляризации обрезанием принимает вид

4033-32.jpg

где символ |p| < L под знаком интеграла обозначает, что по всем четырём компонентам 4-импульса p интегрирование проводится в пределах от - L до + L. В приведённых ф-лах 4033-33.jpg- поляризационный оператор,4033-34.jpg- Дирака матрицы (m = 0, 1, 2, 3),4033-35.jpg пропагатор электрона в импульсном представлении (см. Фейнмана диаграммы).

4033-30.jpg

Диаграмма вакуумной поляризации фотона; k, p, p - k - 4-импульсы соответственно фотона и виртуальных электрона и позитрона.

Вычисление по ф-ле (2) с помощью стандартной техники даёт явное выражение, к-рое в пределе больших (по сравнению с массой электрона т и модулем внеш. импульса k =4033-36.jpgзначений L имеет вид

4033-37.jpg

где 4033-38.jpg- полином 2-й степени по компонентам 4-век-тора4033-39.jpgс коэф., пропорц. L2 и 1n(L2), а4033-40.jpg- конечная ф-ция от4033-41.jpgи m2. Её явный вид несуществен. Отметим лишь, что при больших k2 она имеет логарифмич. асимптотику

4033-42.jpg

где 4033-43.jpg- метрич. тензор пространства-времени Мин-ковского. Представление (3) оказывается удобным для проведения перенормировки ,т. е. устранения бесконечностей. Результативно она сводится к вычитанию из правой части (3) первого, сингулярного в пределе L :, слагаемого. Поскольку разбивание regLП на слагаемые P и 4033-44.jpgсодержит произвол, то возникает вопрос о степени однозначности определения конечной части 4033-45.jpg поляризац. оператора. Одно из условий, к-рому должно удовлетворять 4033-46.jpg,- условие поперечности 4033-47.jpg (k) = 0, вытекающее из требования калибровочной инвариантности. Это условие диктует тензорную структуру матрицы4033-48.jpg

4033-49.jpg

где p(k2) - нек-рая скалярная ф-ция от k2. Как можно показать, после этого остаётся ещё однопараметрич. произвол, к-рый, напр., можно фиксировать условием p(0) = 0.

Регуляризация Паули - Вилларса представляет собой специфическую модификацию одночастичного пропагатора. Её простейший вариант сводится к вычитанию из пропагатора Dm для нек-рого квантового поля массой т такого же пропагатора, но соответствующего большой фиктивной массе М:

4033-50.jpg Так, напр., в импульсном представлении для скалярного поля

4033-51.jpg

Как видно, Р. р. Паули - Вилларса существенно меняет поведение пропагаторов в УФ-области при4033-52.jpg или, что эквивалентно, в окрестности светового конуса [где регуляризация типа (6) убирает наиб. сильные, не зависящие от массы сингулярности по переменной х2]. В квантовой электродинамике в целях сохранения калибровочной инвариантности применяют особый вариант Р. р. Паули-Вилларса, при к-ром замкнутые электронные циклы регуляризуют как целое. Так, напр., при Р. р. диаграммы, изображённой на рис., подинтегральное выражение в правой части (1) регуляризуют целиком, т. е. путём вычитания из него аналогичного выражения, в к-ром в пропагаторах Sc вместо массы электрона т стоит большая вспомогат. масса М. Такая процедура приводит к выражению, к-рое в пределе больших значений регуляризующей массы М имеет структуру, подобную (3), причём вместо первого слагаемого в правой части стоит полином 4033-53.jpg 2-й

степени по k с коэф., сингулярно зависящимиот М. Размерная регуляризация состоит в таком изменении правил интегрирования по виртуальным импульсам, к-рое формально соответствует переходу к нецелому числу измерений D = 4 - e, отличному от 4 на бесконечно малую величину e:

4033-54.jpg

Не вдаваясь в техн. детали, отметим, что результат интегрирования (7) в пределе e : О представим в виде (3), где вместо первого слагаемого правой части стоит полином4033-55.jpgс коэф., содержащими сингулярности типа 1/e. Техн. преимущество размерной Р. р. состоит в том, что она сохраняет свойства симметрии и соответствующей инвариантности нерегуляризованных выражений. В используемом примере речь идёт о калибровочной инвариантности эл--магн. поля. Результат явного вычисления выражения (7) удовлетворяет свойству поперечности, т. е. размерно регуляризован-ный поляризац. оператор пропорционален поперечному тензору: 4033-56.jpg в то время как выражение (2) этим свойством не обладает.

Лит.: Pauli W., Vi11аrs F., On the invariant regula-rization in relavistic quantum theory, "Rev. Mod. Phys.", 1949, v. 21, p. 434; 't Hooft G.,Veltman M., Regularization and renormalization of gauge fields, "Nucl. Phys.", 1972, v. В44, p. 189; Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Квантовые поля, М., 1980, p 23. Д. В. Ширков.

  Предметный указатель