рекуррентные соотношения

РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ (от лат. recur-rens, род. падеж recurrentis - возвращающийся) - однотипные ф-лы, к-рые связывают между собой идущие друг за другом элементы нек-рой последовательности (это может быть последовательность чисел, ф-ций и т. д.). В зависимости от природы объектов, связанных Р. с., эти соотношения могут быть алгебраическими, функциональными, дифференциальными, интегральными и т. п.

Наиб. известный класс Р. с.- это рекуррентные ф-лы для специальных функций. Так, для цилиндрических функций Z_m(x)P. с. имеют вид

Они позволяют по ф-ции Z_m0(x)найти ф-ции Z_m(x)п-ри т = т₀ b 1, т₀ b 2 и т. д. либо, напр., по значениям ф-ций в нек-рой точке х₀ . 0 найти (в численных расчётах) значение любой из ф-ций

в этой же точке (здесь m₀ - любое вещественное число).

Др. важный класс Р. с. дают многочисленные методы последовательных приближений (см. Итераций метод; )сюда же примыкают и методы возмущений теории.

В квантовой механике есть ещё один вид Р. с., связывающих между собой векторы в гильбертовом пространстве состояний. Напр., стационарные состояния гармония, осциллятора параметризуются целыми неотрицательными числами. Соответствующие векторы, обозначаемые, где n - целое, при разных n могут быть получены друг из друга действием операторов рождения а⁺ и уничтожения а:

Эти соотношения можно разрешить, выразив любой вектор через (наинизшее энергетич. состояние, h = 0):

Обобщением этой конструкции является представление вторичного квантования в квантовой статистич. механике и квантовой теории поля (см. Фока пространство).

Типичный пример Р. с. в статистич. механике - ур-ния для частичных ф-ций распределения, образующие цепочку Боголюбова (см. Боголюбова уравнения; )знание таких ф-ций позволяет найти все термодинамич. характеристики системы.

В квантовой теории поля динамич. информация содержится, напр., в Грина функциях .Для их вычисления используют разл. приближения, чаще всего - расчеты по теории возмущений. Альтернативный подход основан на интегродифференциальных Дайсона уравнениях ,являющихся Р. с.: ур-ние для двухточечной ф-ции Грина содержит четырёхточечную и т. д. Как и ур-ния Боголюбова, эту систему удаётся решать, лишь "оборвав" цепочку (место "обрыва" выбирается обычно из физ. соображений и определяет получаемое приближение).

Ещё один вид Р. с. в квантовой теории поля - У орда тождества в теориях калибровочных полей. Эти тождества также представляют собой цепочку интегродифференциальных соотношений, связывающих между собой ф-ции Грина с разл. числом внешних линий, p являются следствием калибровочной инвариантности теории. Решающую роль они играют для проверки калибровочной симметрии при проведении процедуры перенормировки.

Наконец, сама перенормировка - тоже рекуррентная процедура: на каждом шаге (в каждой следующей петле) используются контрчлены, полученные из вычисления диаграмм с меньшим числом петель (подробнее см. R-операция). А. М. Малокостов.

   <<      Предметный указатель      >>