ПРОГНОЗ СОЛНЕЧНОЙ НЕПОГОДЫВ будущем исследователи будут следить за рентгеновскими лучами от Юпитера, чтобы выяснить, что происходит на дальней стороне Солнца, невидимой с Земли, сообщает New Scientist. Далее... |
|
ренормализационная группа
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА (ренорм-группа)
в теоретической физике - одно-параметрич. группа преобразований, состоящих в
из-
менении масштаба (или операции сдвига) одной
из физ. величин (аргумента) и в одноврем. изменении функ-цион. зависимости от
неё др. физ. величин. Р. г. возникает, когда матем. описание физ. задачи включает
выбор частного решения, удовлетворяющего граничному условию при некотором значении
аргумента (в нек-рой точке нормировки), а инвариантность относительно преобразований
Р. г. отражает независимость физ. содержания от выбора точки нормировки.
Р. г. была впервые обнаружена в квантовой
теории поля (КТП) Э. Штюкельбергом (Е. Stueckelberg) и А. Петерманом (A.
Peterman) в 1953, где она может быть сформулирована как группа преобразований
осн. характеристик (вершинных ф-ций, одетых пропагато-ров, перенормированных
констант взаимодействия)и одновременно параметра, фиксирующего масштаб
шкалы импульсных переменных (см. ниже). В 1955 H. H. Боголюбов и Д.
В. Ширков предложили регулярный метод улучшения результатов квантовополевой
теории возмущений - метод Р. г., к-рый был ими эффективно применён к исследованию
УФ- и ИК-особенностей в квантовой электродинамике (КЭД).
Наиб. важная область применения метода Р. г.
в КТП связана с анализом УФ-асимптотик, т. е. с поведением решений на малых
(в микроскопич. смысле) расстояниях. С помощью метода Р. г. в нач. 1970-х гг.
обнаружено свойство асимптотической свободы неабеле-вых калибровочных
теорий, явившееся теоретич. основой объяснения партонной модели строения адронов
(см. Партоны) и приведшее к формулировке совр. теории сильного
взаимодействия - квантовой хромодинамики.
Примерно в это же время метод Р. г. был перенесён
К. Вильсоном (К. Wilson) из КТП в теорию критических явлений и использован
для вычисления характеристик фазовых переходов. Впоследствии этот метод
был плодотворно использован в др. разделах теоретич. физики: теории турбулентности,
физике полимеров, теории переноса, магн. гидродинамике и нек-рых других,
содержащих статистич. описание физ. явлений. Основой для применения методов
Р. г. в отд. случаях служит теорема эквивалентности задачи вычисления корреляционных
функций данной статистич. модели и задачи вычисления Грина функций нек-рой
квантовополевой модели. Первоначально такая эквивалентность была установлена
для статистич. моделей равновесной термодинамики, а затем этот результат был
распространён на ряд задач стохастич. динамики.
Общий взгляд на природу преобразований Р. г.
в различных, далёких друг от друга областях может быть сформулирован с помощью
понятия функционального подобия, обобщающего известное в гидро- и газодинамике
представление о степенном подобии, или автомодельности. Простейшее преобразование
функцией, автомодельности затрагивает две фпз. величины x и g
и имеет вид
где t - непрерывный параметр преобразования,
изменяющий шкалу переменной х, а
-
ф-ция, удовлетворяющая функциональному ур-нию
в силу к-рого преобразования R(t)обладают
групповым свойством R(t)R(т)= R(tт)и
образуют непрерывную группу (Ли группу). В частном случае, когда
линейна
по второму аргументу, решение ур-ния (1) имеет вид
где k - произвольное число, и преобразование
R(t)принимает вид преобразования степенного подобия. Поэтому в общем
случае преобразование R(t)оказывается функциональным обобщением последнего.
Использование Р. г. в разных областях физики
в каждом случае опирается на пару величин типа c и g, для
к-рых могут быть сформулированы преобразования функционального подобия. Так,
в КЭД (ниже для простоты в безмассовом случае, или, что эквивалентно, в УФ-пределе)
такую пару образуют квадрат 4-импуль-са фотона k2 и значение
электрич. заряда электрона e(m2), измеренное виртуальным
фотоном с k2 = m2, т. е. в точке нормировки
m2 (в статье принята система единиц, в к-рой ђ = с
= 1). Ренормгрупповое преобразование безмассовой КЭД может быть записано
в виде
где вместо заряда е использована величина
a = е2/4p, являющаяся параметром разложения теории
возмущений. Ф-ция
пропорциональная
квадрату эффективного заряда электрона, удовлетворяет функциональному
ур-нию (1).
Поскольку группа Ли может быть полностью охарактеризована
своим бесконечно малым элементом, вместо функциональных ур-ний можно рассматривать
дифференциальные, отвечающие преобразованиям R(t)при t, близких
к единице. Такое ур-ние для
может
быть записано в виде
где ф-ция b(a), представляющая собой
генератор группы ,определена соотношением
Метод Р. г., о к-ром говорилось выше, состоит
в том, что b-функция определяется по ф-ле (3), в правой части к-рой используют
для
приближённое
выражение из теории возмущений.
Напр., в КХД, исходя из результатов однопетлевой
теории возмущений (ТВ) в УФ-области для эфф. константы сильного взаимодействия
по ф-ле (3) получают 
Используя это выражение
в (2) и интегрируя полученное нелинейное дифференц. ур-ние, находят
Это выражение является точным решением дифференц.
ур-ния (2) [и группового функционального ур-ния (1)]. В то же время при разложении
в ряд по as оно даёт соответствие с использованным приближённым
выражением 
Поэтому можно сказать, что метод Р. г. даёт синтез теории возмущений и ренормгрупповой
инвариантности. Полученное выражение (4) содержит сумму всех "главных"
логарифмич. вкладов вида as(aslnt)n
и может быть использовано вплоть до бесконечно больших значений t. Как
можно показать, параметр t здесь следует отождествить с отношением k2/m2,
где k2 - квадрат 4-импульса, а m2 - точка
нормировки (т. е. его значение, использованное для определения численного значения
константы as), 
Поэтому предел t : , отвечает УФ-асимптотике
k2 : ,. Из ф-лы (4) теперь видно, что в этом пределе
что
и соответствует асимптотической свободе.
Учёт высших членов теории возмущений при определении
генератора b(a) в принципе позволяет систематически улучшать ф-лы
вида (4). Так, в КХД осн. рабочей ф-лой для эфф. заряда
является
ренормгрупповая ф-ла 2-петлевого приближения, к-рая наряду с "главными"
вкладами суммирует также вклады вида 
и в области больших t содержит зависимость от Inlnt, не возникающего
в самой теории возмущений.
Ренормгрупповые ф-лы вида (4) для эфф. констант
связи электрослабого взаимодействия и сильного взаимодействия явились
исходным материалом при формулировке гипотезы великого объединения взаимодействий.
Матем. аппарат великого объединения основан на системе связанных дифференц.
ур-ний для неск. эфф. констант связи, являющейся обобщением ур-ния (3).
В теории критич. явлений пару (х, g)образуют
размер эффективного спинового блока и константа спиновой связи соседних блоков,
в теории полимеров - размер эффективного элементарного звена полимерной цепи
и сила взаимодействия между соседними звеньями и т. д.
Метод Р. г., предложенный более 30 лет назад
для анализа УФ-поведения, всё шире ныне используется в разл. областях физики.
Лит.: Stueckelberg E., Petermann
А., La normalisation des constantes dans la theorie des quanta, "Helv.
Phys. Acta", 1953, v. 26, p. 499; Ge11 - Маnn М., Lоw F., Quantum
electrodynamics at small, "Phys. Rev.", 1954, v. 95, p. 1300; Боголюбов
H. H., Ширков Д. В., Приложение ренормализационной группы к улучшению
формул теории возмущений, "ДАН СССР", 1955, т. 103, JMS 3, с. 391;
их же, Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984, гл. 9; Вильсон
К., Когут Дж., Ренормализационная группа и e-разложение, пер. с англ.,
М., 1975; De DominicisC., Martin P. C., Energy spectra of certain randomly-stirred
fluids, "Phys. Rev. A", 1979, v. 19, JMJ 1, p. 419; Аджемян Л. Ц.,
Васильев А. Н., Письмак Ю. М., Ре-нормгрупповой подход в теории турбулентности,
"ТМФ", 1983, т. 57, № 2, с. 268; Ширков Д. В., Ренормгруппа и функциональная
автомодельность в различных областях физики, "ТМФ", 1984, т. 60,
с. 218; Белокуров В. В., Ширков Д. В., Теория взаимодействий частиц, М., 1986,
p 13; Ширков Д. В., Новый метод теоретической физики, в сб.: Наука и человечество.
1987, М., 1987. Д.
В. Ширков.
webmaster@femto.com.ua