решётки метод

РЕШЁТКИ МЕТОД в квантовой теории поля (КТП) - метод проведения численных вычислений и анализа качественных свойств разл. моделей в осн. в теориях калибровочных полей, включая квантовую хромодинамику (КХД), основанный на аппроксимации непрерывного пространства-времени дискретной совокупностью точек - решёткой. Наиб. часто используется кубич. решётка, точки к-рой (наз. узлами) расположены в вершинах кубов, заполняющих пространство. Кратчайший промежуток между двумя соседними узлами наз. ребром, а длина ребра - шагом решётки.

Простейшим примером КТП на решётке является теория скалярного поля, для к-рого рассматриваются лишь его значения в узлах решётки, а входящие в ур-ния движения производные аппроксимируются конечными разностями. Значения полей в узлах решётки являются динамич. переменными задачи. Поскольку во всех практич. приложениях рассматриваются решётки конечного размера, то КТП на решётке превращается в теорию с конечным числом степеней свободы, определяющимся числом узлов. Для удовлетворит. описания непрерывных конфигураций поля необходимо, чтобы шаг решётки был гораздо меньше характерного масштаба изменения полей (в случае гладких конфигураций этого всегда можно добиться, достаточно уменьшив шаг решётки). При решёточной формулировке спинорного поля его значения также приписываются узлам решётки, в то время как значения векторного поля приписываются рёбрам.

Для вычисления средних по квантовым флуктуациям полей используется либо гамильтонов метод, когда время остаётся непрерывным, либо евклидова формулировка (см. Евклидова квантовая теория поля ),для к-рой решётка вводится и по четвёртой оси. Гамильтонов метод даёт возможность описывать пространственно-временную динамику разл. процессов, а евклидова формулировка очень удобна для расчётов стационарных (не зависящих от времени) величин, таких, как массы частиц или потенциалы их взаимодействия, и позволяет воспользоваться для нахождения средних представлением функционального интеграла в КТП (см. Функционального интеграла метод).

Возникающие в Р. м. функциональные интегралы можно вычислить аналитически в т. н. области сильной связи, когда шаг решётки гораздо больше, чем характерный масштаб квантовых флуктуации полей (равный 10^-13 см для КХД), а не меньше его, как нужно для непрерывного предела. Переход к непрерывному пределу осуществляется путём уменьшения шага решётки. При этом типичные флуктуации становятся распределёнными сразу по многим узлам (для калибровочных полей - по многим рёбрам) и возникает задача вычисления интегралов большой кратности, к-рая решается с помощью численного Монте-Карло метода.

Поскольку метод Монте-Карло применим лишь к интегралам конечной кратности, рассматривается решётка с конечным числом узлов по каждой из четырёх осей и накладываются, как правило, периодич. граничные условия (т. е. противолежащие узлы отождествляются). Как свидетельствуют результаты численных расчётов, в КХД непрерывный предел для глюонных полей наступает довольно рано, когда шаг решётки составляет ок. 10^-14 см. Это даёт возможность получать относящиеся к непрерывному пределу результаты уже на решётке протяжённостью 8-10 узлов по каждой оси. Наиб. решётка, к-рая использовалась при численных вычислениях, составляет 32⁴ узла, что с учётом спина и цвета гяюона приводит к интегралу кратности более 3*10⁷.

Решёточная формулировка КХД была предложена в 1974 К. Г. Вильсоном (К. G. Wilson) в связи с проблемой конфайнмента (невылетания) кварков (см. У держание цвета). Калибровочные теории на решётке обсуждались независимо также Ф. Вегнером (F. VVegner, 1971) и А. М. Поляковым (1974). Гамильтонов метод для КХД на решётке разработан Дж. Когутом (J. Ко-gut) и Л. Саскиндом (L. Susskind) в 1975. Численное изучение свойств решёточных калибровочных теорий было инициировано работой А. А. Мигдала (1975). Методика вычислений по методу Монте-Карло разработана Л. Джейкобсом (L. Jacobs), М. Кройцем (М. Creutz) и К. Ребби (С. Rebbi) в 1979. В основном расчёты методом Монте-Карло в КХД проводились в т. н. приближении валентных кварков, когда пренебрегают рождением из вакуума виртуальных кваркантикварковых пар. Выполнены также расчёты, к-рые свидетельствуют о том, что учёт виртуальных кваркантикварковых пар не меняет существенно большинства результатов, полученных в этом приближении.

В приближении валентных кварков было показано (М. Кройц, 1979), что конфайнмент кварков, имеющий место в области сильной связи, остаётся и при уменьшении шага решётки; проводились вычисления зависимости потенциала между тяжёлыми кварками от расстояния между ними, значения масштабного массового параметра КХД, спектра масс глюболов с разл. квантовыми числами, величин вакуумных конденсатов, масс разл. мезонов и барионов и нек-рых констант, описывающих их распады. Особое место занимают вычисления в КХД при конечной темп-ре, где были рассчитаны значение темп-ры (ок. 2,5*10¹²К), при к-рой конфайнмент исчезает и происходит фазовый переход от адронов к кварк-глюонной плазме, температурная зависимость плотности энергии системы и её кол-во, поглощаемое при фазовом переходе, а также значение темп-ры, при к-рой разрушается кварковый конденсат.

Хотя вычисленные в КХД методом Монте-Карло значения физ. величия и находятся в согласии с опытом (когда такое сравнение можно провести), неопределённость расчётов пока довольно велика, напр. для масс адронов она превышает 100 МэВ/с². Ведутся работы, направленные на то, чтобы уменьшить эту неопределённость за счёт уменьшения статистич. погрешности, увеличения размера решётки и учёта вклада виртуальных кварков. В частности, создаются процессоры, специально предназначенные для выполнения численных расчётов в КХД.

Лит.: Wilson К. G., Continment ol quarks, «Phys. Rev.», 1974, v. D10, p. 2445; Creutz M., J а с о b s L., В: е b b i С. , Monte-Carlo computations in lattice gauge theories, «phys. Repts», 1983, v. 05, p. 201; К о g и t J., The lattice gauge theory approach to quantum chromodynamics, «Rev. Mod. Phys.», 1983, v. 55, p. 775; М а к е е н к о Ю. М., Метод Монте-Карло в калибровочных теориях на решетке, «УФН», 1984, т. 143, в. 2, с. 161; Кройц М., Кварки, глюины и решетки, пер. с англ., М. 1987. Ю. М. Макеенко.

   <<      Предметный указатель      >>