Взгляд в 2020 год. ЛазерыТе, кто задумал и изобрел лазер 50 лет назад не могли предсказать той роли, которую они стали играть в течение последней половины века: от средств связи до контроля окружающей среды, от производства до медицины, от развлечений до научных исследований. Далее... |
риманова геометрия
РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия риманова пространства. Осн. понятия Р. г. являются обобщением понятий евклидовой геометрии на пространства с произвольным метрическим тензором gij.
Скалярное произведение касательных векторовв
точке х определяется ф-лой
. Это позволяет определить длины векторов
и углы между векторами в данной точке. Длина (s)кривой, хi
= xi(t), i = 1,..., n;
,
определяется ф-лой
где
- вектор скорости.
Расстояние
между точками х н у определяется как минимум длин кривых,
соединяющих точки х и у. Ф-ция
задаёт метрику в римановом пространстве.
Объём области U риманова пространства определяется ф-лой
На k-мерной поверхности, заданной в римановом пространстве в
параметрич. виде,
, i = 1,..., п, возникает метрич. тензор
наз. первой квадратичной формой поверхности. Длины кривых, углы н объёмы k-мерных областей на поверхности вычисляются в терминах внутренней геометрии, т. о. через первую квадратичную форму. Р. г. двумерных поверхностей в трёхмерном евклидовом пространстве широко применяется в механике оболочек. Большое внимание уделяется изучению минимальных поверхностей, т. е. экстремалей функционала k-мерного объёма. Простейшей их физ. реализацией (при k = 2)являются мыльные плёнки. Считается, что двумерные минимальные поверхности в пространстве Минковского описывают классич. динамику струны релятивистской.
Дифференц. исчисление тензоров в римановом пространстве основано
на введении симметричной связности,, согласованной с метрикой gij. Её Кристоффеля символы имеют вид
Кривизны, тензор .этой
связности определяет кривизну риманова пространства, характеризующую
его отличие от евклидова.
Д в и ж е н и я рнманова пространства определяются как преобразования,
сохраняющие метрику. Однопараметрич. группы движений определяются векторными
полями К и л л и н г а
, удовлетворяющими соотношениям:
,
где
,
- ковариантная производная .Сдвиги вдоль траекторий системы,
, i = 1, ...,n, определяют движения пространства. Движения n-мерного
риманова пространства образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит
п(п-1). Для общих римановых пространств эта группа тривиальна; примерами
пространств с группой движений макс. размерности служат евклидово пространство,
сфера (метрика
,
- Кронекера символ ),простпанство лобачевского (метрика
-
.
Если группа движении достаточно богата, так что с помощью движения любую
точку х можно перевести в заданную точку у, то риманово пространство
наз. однородным. Если для люоой точки существует движение, являющееся симметрией
пространства с центром в этой точке, то однородное пространство наз. си
м метрическим. Локально симметрические пространства выделяются условием
постоянства кривизны,
.
Теория симметрических и римановых однородных пространств сочетает применение
Р. г. и методов теории групп Ли. Идей и методы этой теории используются
при изучении однородных космологических моделей общей теории относительности.
Конформными наз. такие преобразования ряманова пространства, при к-рых
метрика подвергается растяжению,
. Конформные преобразования n-мерного риманова пространства при
образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит (п + 1)(n + 2)/2. Инвариантностью относительно конформных преобразований
обычно обладают теории безмассовых частиц.
Геодезическая линия - экстремаль функционала длины, рассматриваемого
на кривых с закреплёнными концами. Ур-ния геодезических имеют вид
Геодезические могут быть получены также как экстремаль функционала действия:
Близкие точки х, у риманова пространства всегда можно соединить
локально единственной геодезической, длина к-рой и будет равна расстоянию.
Риманово пространство наз. геодезически полным, если любая геодезическая
неограниченно продолжается по t. В полном римановом пространстве
любые две точки можно соединить геодезической (вообще говоря, не единственной).
Изучение глобальных свойств геодезических риманова пространства составляет
важный раздел вариационного исчисления в целом. Поскольку многие
ур-ния классич. механики могут быть записаны в виде ур-ний геодезических,
методы теории геодезических применимы для получения качеств. информации
о характере механич. движения. В общей теории относительности, где массивные
частицы движутся по времениподобным (а безмассовые - по изотропным) геодезическим
индефинитной метрики., в основном изучаются именно такие геодезические.
Нек-рые их глобальные свойства допускают физ. интерпретацию. Так, наличие
замкнутых геодезических означает нарушение причинности. Геодезич. неполнота
трактуется как наиб. универсальный способ определения сингулярности пространства-времени.
Важная задача Р. г. - установление зависимости между геометрией риманова
пространства и его топологией. Простейшим примером такой зависимости
является ф-ла Гаусса - Бонне, справедливая для замкнутой двумерной поверхности:
где К - гауссова кривизна поверхности,
- элемент площади, g - топологич. характеристика поверхности, равная
числу ручек (напр., для сферы g = 0, для тора g = 1). Для
многомерных римановых пространств строятся более сложные топологич. характеристики
(характеристич. классы), вычисляемые в виде интегралов от инвариантов тензора
кривизны. Известны также теоремы, выводящие топологич. ограничения на риманово
пространство из соотношений типа неравенств для его кривизны. Простейшим
примером является такое утверждение: полное односвязное (т. е. любой замкнутый
путь стягивается в точку) риманово пространство отрицат. кривизны топологически
евклидово.
Комплексный аналог Р. г. - теория пространств с эрмитовой метрикой,
записываемой в комплексных, координатах
в виде
(черта
означает комплексное сопряжение), причём
.
В частности, двумерная метрика может быть записана в комплексном виде
,
если ввести изотормич. координаты x1, х2, такие, что
,
и положить
,
(здесь i - комплексная единица). Конформные преобразования сводятся
тогда к комплексно-аналитич. заменам,
,
,
и сопряжению
Большинство методов Р. г. переносятся на псевдори-мановы пространства, в к-рых задана индефинитная метрика, и поэтому являются осн. аппаратом общей теории относительности.
Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 7 изд., М., 1988; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., М., 1961; Д у б р о в и н Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986; их же, Современная геометрия. Методы теории гомологии, М., 1984. Б. А. Дубровин.