риманова геометрия

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия риманова пространства. Осн. понятия Р. г. являются обобщением понятий евклидовой геометрии на пространства с произвольным метрическим тензором g_ij.

Скалярное произведение касательных векторовв точке х определяется ф-лой . Это позволяет определить длины векторов и углы между векторами в данной точке. Длина (s)кривой, хⁱ = xⁱ(t), i = 1,..., n;, определяется ф-лой

где - вектор скорости.

Расстояние между точками х н у определяется как минимум длин кривых, соединяющих точки х и у. Ф-ция задаёт метрику в римановом пространстве.

Объём области U риманова пространства определяется ф-лой

На k-мерной поверхности, заданной в римановом пространстве в параметрич. виде, , i = 1,..., п, возникает метрич. тензор

наз. первой квадратичной формой поверхности. Длины кривых, углы н объёмы k-мерных областей на поверхности вычисляются в терминах внутренней геометрии, т. о. через первую квадратичную форму. Р. г. двумерных поверхностей в трёхмерном евклидовом пространстве широко применяется в механике оболочек. Большое внимание уделяется изучению минимальных поверхностей, т. е. экстремалей функционала k-мерного объёма. Простейшей их физ. реализацией (при k = 2)являются мыльные плёнки. Считается, что двумерные минимальные поверхности в пространстве Минковского описывают классич. динамику струны релятивистской.

Дифференц. исчисление тензоров в римановом пространстве основано на введении симметричной связности,, согласованной с метрикой g_ij. Её Кристоффеля символы имеют вид

Кривизны, тензор .этой связности определяет кривизну риманова пространства, характеризующую его отличие от евклидова.

Д в и ж е н и я рнманова пространства определяются как преобразования, сохраняющие метрику. Однопараметрич. группы движений определяются векторными полями К и л л и н г а , удовлетворяющими соотношениям:, где, - ковариантная производная .Сдвиги вдоль траекторий системы, , i = 1, ...,n, определяют движения пространства. Движения n-мерного риманова пространства образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит п(п-1). Для общих римановых пространств эта группа тривиальна; примерами пространств с группой движений макс. размерности служат евклидово пространство, сфера (метрика, - Кронекера символ ),простпанство лобачевского (метрика -. Если группа движении достаточно богата, так что с помощью движения любую точку х можно перевести в заданную точку у, то риманово пространство наз. однородным. Если для люоой точки существует движение, являющееся симметрией пространства с центром в этой точке, то однородное пространство наз. си м метрическим. Локально симметрические пространства выделяются условием постоянства кривизны,. Теория симметрических и римановых однородных пространств сочетает применение Р. г. и методов теории групп Ли. Идей и методы этой теории используются при изучении однородных космологических моделей общей теории относительности.

Конформными наз. такие преобразования ряманова пространства, при к-рых метрика подвергается растяжению, . Конформные преобразования n-мерного риманова пространства при образуют группу Ли, размерность к-рой не превосходит (п + 1)(n + 2)/2. Инвариантностью относительно конформных преобразований обычно обладают теории безмассовых частиц.

Геодезическая линия - экстремаль функционала длины, рассматриваемого на кривых с закреплёнными концами. Ур-ния геодезических имеют вид

Геодезические могут быть получены также как экстремаль функционала действия:

Близкие точки х, у риманова пространства всегда можно соединить локально единственной геодезической, длина к-рой и будет равна расстоянию. Риманово пространство наз. геодезически полным, если любая геодезическая неограниченно продолжается по t. В полном римановом пространстве любые две точки можно соединить геодезической (вообще говоря, не единственной). Изучение глобальных свойств геодезических риманова пространства составляет важный раздел вариационного исчисления в целом. Поскольку многие ур-ния классич. механики могут быть записаны в виде ур-ний геодезических, методы теории геодезических применимы для получения качеств. информации о характере механич. движения. В общей теории относительности, где массивные частицы движутся по времениподобным (а безмассовые - по изотропным) геодезическим индефинитной метрики., в основном изучаются именно такие геодезические. Нек-рые их глобальные свойства допускают физ. интерпретацию. Так, наличие замкнутых геодезических означает нарушение причинности. Геодезич. неполнота трактуется как наиб. универсальный способ определения сингулярности пространства-времени.

Важная задача Р. г. - установление зависимости между геометрией риманова пространства и его топологией. Простейшим примером такой зависимости является ф-ла Гаусса - Бонне, справедливая для замкнутой двумерной поверхности:

где К - гауссова кривизна поверхности, - элемент площади, g - топологич. характеристика поверхности, равная числу ручек (напр., для сферы g = 0, для тора g = 1). Для многомерных римановых пространств строятся более сложные топологич. характеристики (характеристич. классы), вычисляемые в виде интегралов от инвариантов тензора кривизны. Известны также теоремы, выводящие топологич. ограничения на риманово пространство из соотношений типа неравенств для его кривизны. Простейшим примером является такое утверждение: полное односвязное (т. е. любой замкнутый путь стягивается в точку) риманово пространство отрицат. кривизны топологически евклидово.

Комплексный аналог Р. г. - теория пространств с эрмитовой метрикой, записываемой в комплексных, координатах в виде(черта означает комплексное сопряжение), причём. В частности, двумерная метрика может быть записана в комплексном виде, если ввести изотормич. координаты x¹, х², такие, что, и положить

, (здесь i - комплексная единица). Конформные преобразования сводятся тогда к комплексно-аналитич. заменам,,, и сопряжению

Большинство методов Р. г. переносятся на псевдори-мановы пространства, в к-рых задана индефинитная метрика, и поэтому являются осн. аппаратом общей теории относительности.

Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 7 изд., М., 1988; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., М., 1961; Д у б р о в и н Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986; их же, Современная геометрия. Методы теории гомологии, М., 1984. Б. А. Дубровин.

   <<      Предметный указатель      >>