риманова поверхность

РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ - поверхность, локально устроенная как область комплексной плоскости (комплексное аналитич. многообразие ).Если X - нек-рая поверхность (многообразие), представимая в виде объединения открытых подмножеств {U_i}, каждое из к-рых эквивалентно нек-рой области в, то говорят, что на X задана структура Р. п. Др. словами, существуют ф-ции f_i, непрерывно и взаимно однозначно отображающие на U_i, причём для любой пары индексов i и j ф-ции перехода являются аналитическими функциями, взаимно однозначно отображающими на. Пара наз. картой, а совокупность всех карт, покрывающих X, - атласом. Ниже приведены примеры Р. п.

1. Всякая область в является Р. п. При этом атлас можно выбрать состоящим из одной карты, положив и /, равной тождеств. отображению.

2. Расширенная комплексная плоскость (сфера Р и м а н а), получающаяся добавлением к бесконечно удалённой точки, является Р. п. В этом случае атлас можно выбрать состоящим из двух карт, положив, напр.,

Ф-ция f₁ отображает круг на себя, а ф-ция f₂ отображает внешность единичного круга на единичный круг. При этом бесконечно удалённая точка переходит в нуль.

3. Р. п. аналитич. ф-ции. Если ф-ция f(z), первоначально заданная в нек-рой окрестности точки z₀, допускает аналитическое продолжение вдоль к--л. замкнутого контура, причём в результате этого продолжения получается ф-ция с др. значениями в окрестности z₀, то точку z₀ до обхода этого контура и ту же точку после его обхода естественно считать разл. точками. Проводя эту процедуру со всеми точками первонач. области определения ф-ции, получаем в результате неоднолистную область, имеющую структуру Р. п. и называемую Р. п. ф-ции f(z). При обходе вдоль контура описанного выше типа говорят о переходе Р. п. на другой лист. Р. п. аналитич. ф-ций позволяет рассматривать многозначные функции в как однозначные ф-ции на своих Р. п.

4. Пусть - нек-рая область в и Г - нек-рая группа взаимно однозначных аналитич. отображений в себя, причём совокупность точек, получающихся из при действии Г, образует дискретное множество в. Отождествляя точки, переходящие друг в друга при преобразованиях из Г, можно определить поверхность (многообразие), к-рая имеет структуру Р. п. и обозначается. Напр., преобразования , где z₀ - фиксиров. число, приводят к поверхности, топологически эквивалентной цилиндру.

Согласно теореме об униформизации, любая связная Р. п. эквивалентна либо, либо, либо , где - верхняя полуплоскость. Др. словами, существует аналитич. ф-ция, взаимно однозначно отображающая связную Р. п. на одну из перечисленных.

Р. п. применяют в разл. областях теоретич. и матем. физики. В частности, в квантовой теории поля часто изучаемые величины (амплитуды рассеяния, формфакторы и т. д.) являются многозначными аналитич. ф-циями. При этом переход с одного листа Р. п. на другой обычно интерпретируют как переход от реальных состояний частиц к виртуальным и наоборот. Др. примерами могут служить плоскость Лобачевского и фазовые пространства динамических систем.

Лит. см. при ст. Аналитическая функция. Б. И. Завьялов.

   <<      Предметный указатель      >>