Взгляд в 2020 год. АстрономияКлючевые вопросы на ближайшее десятилетие включают определение природы темной материи, которая наполняет Вселенную - это будет основным разочарованием, если парадигма темной материи не будет подтверждена прямым детектированием слабо взаимодействующих частиц, так как пройдет уже 40 лет с момента ее создания. Далее... |
риманова поверхность
РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ - поверхность, локально устроенная
как область комплексной плоскости
(комплексное аналитич. многообразие ).Если X - нек-рая поверхность
(многообразие), представимая в виде объединения открытых подмножеств {Ui}, каждое
из к-рых эквивалентно нек-рой области
в
, то
говорят, что на X задана структура Р. п. Др. словами, существуют ф-ции
fi,
непрерывно и взаимно однозначно отображающие
на Ui, причём для любой пары индексов i и j
ф-ции перехода
являются аналитическими функциями, взаимно однозначно отображающими
на
. Пара
наз. картой, а совокупность всех карт, покрывающих X, - атласом.
Ниже приведены примеры Р. п.
1. Всякая область
в
является
Р. п. При этом атлас можно выбрать состоящим из одной карты, положив
и /, равной тождеств. отображению.
2. Расширенная комплексная плоскость (сфера Р и м а н а),
получающаяся добавлением к
бесконечно удалённой точки, является Р. п. В этом случае атлас можно выбрать
состоящим из двух карт, положив, напр.,
Ф-ция f1 отображает круг
на себя, а ф-ция f2 отображает внешность единичного круга
на единичный круг. При этом бесконечно удалённая точка переходит в нуль.
3. Р. п. аналитич. ф-ции. Если ф-ция f(z), первоначально заданная
в нек-рой окрестности точки z0, допускает аналитическое продолжение вдоль
к--л. замкнутого контура, причём в результате этого продолжения получается
ф-ция с др. значениями в окрестности z0, то точку z0
до обхода этого контура и ту же точку после его обхода естественно считать
разл. точками. Проводя эту процедуру со всеми точками первонач. области
определения ф-ции, получаем в результате неоднолистную область, имеющую
структуру Р. п. и называемую Р. п. ф-ции f(z). При обходе вдоль
контура описанного выше типа говорят о переходе Р. п. на другой лист. Р.
п. аналитич. ф-ций позволяет рассматривать многозначные функции в
как однозначные ф-ции на своих Р. п.
4. Пусть
- нек-рая область в
и Г - нек-рая группа взаимно однозначных аналитич. отображений
в себя, причём совокупность точек, получающихся из
при действии Г, образует дискретное множество в
.
Отождествляя точки
,
переходящие друг в друга при преобразованиях из Г, можно определить поверхность
(многообразие), к-рая имеет структуру Р. п. и обозначается
.
Напр., преобразования
, где z0 - фиксиров. число, приводят к поверхности, топологически
эквивалентной цилиндру.
Согласно теореме об униформизации, любая связная Р. п. эквивалентна
либо,
либо
,
либо
, где
- верхняя полуплоскость. Др. словами, существует аналитич. ф-ция, взаимно
однозначно отображающая связную Р. п. на одну из перечисленных.
Р. п. применяют в разл. областях теоретич. и матем. физики. В частности, в квантовой теории поля часто изучаемые величины (амплитуды рассеяния, формфакторы и т. д.) являются многозначными аналитич. ф-циями. При этом переход с одного листа Р. п. на другой обычно интерпретируют как переход от реальных состояний частиц к виртуальным и наоборот. Др. примерами могут служить плоскость Лобачевского и фазовые пространства динамических систем.
Лит. см. при ст. Аналитическая функция. Б. И. Завьялов.