риманово пространство

РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО - пространство, точки к-рого однозначно задаются координатами х = (х¹, ..., х^п)(быть может, локальными) и в к-ром определён метрический тензор. Число n наз. размерностью пространства. В случае, когда Р. п. не допускает введения единой системы координат (напр., её нет на сфере), предполагается, что на нём задана структура многообразия. Это означает, что Р. п. разбито на области U₁, U₂,..., причём в каждой области U_p заданы свои координаты ; требуется, чтобы для пересекающихся пар областей U_p, U_qкоординаты гладко выражались через координаты и наоборот. В каждой области U_p задаётся метрич. тензор, причём на пересечении U_p и U_q компоненты и связаны тензорным законом преобразования:

Простейшим примером Р. п. является евклидово пространство ,где в прямоуг. координатах метрич. тензор ( - Кронекера символ). Если тензор задаёт индефинитную метрику, то пространство наз. псевдоримановым. Простейшим примером таких пространств является четырёхмерное пространство-время специальной теории относительности (пространство Минковского). Геометрия Р. п. составляет предмет римановой геометрии. Псевдоримановы пространства изучаются общей относительности теорией.

Лит.: Фок В. А., Теория пространства, времени и тяготения, 2 изд., М., 1961; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986. В. А. Дубровин.

   <<      Предметный указатель      >>