самосогласованное поле

САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ в квантовой механике - эффективное (в простейших случаях среднее по времени) силовое поле, создаваемое частицами сложной системы (атома, атомного ядра, твёрдого тела и др.). Служит для приближённого описания взаимодействия между частицами путём его замены воздействием С. п. на каждую из них; при этом решение многочастичной задачи сводится к рассмотрению движения отд. частицы в С. п. (и во внеш. поле, если оно имеется). Имея сходную с последним структуру, С. п. отличается тем, что зависит от состояния системы, определяемого самим же С. п. Это требует согласования вида С. п. с решениями динамич. ур-ний, зависящими в свою очередь от С. п., с чем и связан термин «самосогласованное».

С. п. описывает лишь часть взаимодействия между частицами, отвечающую воздействию ср. распределения частиц системы на каждую из них. За рамками метода С. п. остаётся корреляционная (флуктуационная) часть взаимодействия, связанная с отличием мгновенного распределения частиц от среднего. Во мн. случаях корреляции играют незначит. роль и применение метода С. п. оправдано. Однако в ряде явлений (критич. явления, силы Ван-дер-Ваальса и др.) эта роль является определяющей.

Понятие С. п. в первонач. форме возникло в небесной механике, а затем вошло в теорию мн. частиц при описании ферромагнетизма [теория молекулярного поля, П. Вейс (P. Weiss, 1907)], пространственного заряда [теория газового разряда, И. Ледгмюр (I. Langmuir, 1913)], тяжёлого атома [ Томаса-Ферми метод, Л.Томас (L. Thomas, 1927), Э. Ферми (Е. Fermi, 1928)]. Строгое квантовомеханич. обоснование метода С. п. было дано Д. Хартри (D. Hartree, 1928) и В. А. Фоком (1930) вскоре после создания квантовой механики.

Для формулировки метода С. п. и понимания его смысла существенна особая роль взаимодействия в многочастичных системах. Порождая многообразие их свойств, взаимодействие сказывается и на способе теоретич. описания. В отсутствие взаимодействия, когда движение частиц динамически независимо, объектом описания может быть отд. частица системы (одночастичная картина): состояние системы в целом полностью определяется состояниями каждой из её частиц. Взаимодействие разрушает эту картину, лишая смысла понятие о состоянии отд. частицы. Можно говорить лишь о состоянии системы как целого, к-рая и становится теперь объектом описания. Это ведёт к качественному усложнению теории мн. частиц: вместо волновой ф-ции отд. частицы (q - совокупность пространственной, спиновой и др. координат,- индекс состояния) вводят зависящую от N координат (N - число частиц в системе) волновую ф-цию всей системы

Идея метода С. п. состоит в том, чтобы сохранить одночастичную картину и при наличии взаимодействия, частично компенсируя возникающие при этом ошибки введением дополнит. (помимо внешнего) силового поля. Это поле, к-рое и наз. С. п., подбирают так, чтобы свести указанные ошибки к минимуму. Поэтому метод С.п.- наилучший из всех возможных способов одночастичного описания системы взаимодействующих частиц. При относит. простоте матем. аппарата (наиб. сложна процедура самосогласования) этот метод даёт эфф. описание взаимодействия между частицами, если эффекты корреляц. взаимодействия невелики.

Основные уравнения. Одночастичному характеру метода С. п. отвечает мультипликативная структура волновой ф-ции системы:

Для тождественных бозе-(ферми-)частиц нужна симметризация (антисимметризация) ф-ции (1) по координатам, обозначаемая символом S:

(в случае ферми-частиц это ведёт к детерминанту Слэ-тера - Фока). В частности, при N = 2:
где здесь и ниже знаки «+» и «-» отвечают бозе-(ферми-) частицам. Различию правых частей (1) и (2) отвечают обменные (статистич.) корреляции (см. Обменное взаимодействие), присущие тождеств. частицам. В отличие от силовых (динамич.) корреляций, порождаемых взаимодействием и отвечающих его корреляц. части, обменные корреляции описываются методом С. п.

Матрица плотности системы в методе С. п. также сводится к произведению одночастичных матриц плотности:

где п_а - числа заполнения уровней, - операторная ф-ция уничтожения (рождения) в методе вторичного квантования, «*» означает комплексное сопряжение, <...> - усреднение по состоянию системы. Так, парная матрица плотности имеет вид

(в отсутствие обменных эффектов остаётся лишь первое слагаемое). Это выражение (и соответствующую ф-лу для ф-цпй распределения) используют в приложениях метода С. п. к термодинамике и кинетике.

Одночастичную волновую ф-цию выбирают в методе С. п. из условия макс. близости выражений (1), (2) к точной волновой ф-ции системы. С этой целью используют вариац. принцип. требующий минимума энергии системы при условии = 1, где

Н - гамильтониан системы, Т - сумма кинетич. энергии и внеш. поля, V - взаимодействие между частицами, i, j = 1, 2, ..., N. Волновая ф-ция (1) приводит к ур-нию Хартри для

включающему С. п.

Волновая ф-цпя (2) приводит к ур-нию Хартри- Фока, имеющему вид (5) с где обменный член W₂ определяется соотношением

Через одночастичные энергии выражается полная энергия системы

Согласно варпац. принципу эта величина всегда больше истинного значения энергии.

Величина W₁ имеет простой смысл ср. поля частиц системы, действующего на данную частицу, a W₂ ведёт к увеличению (уменьшению) вероятности сближения двух бозе-(ферми-)частиц, изменяя соответств. образом их взаимодействие. Самосогласованному характеру величины W отвечает зависимость матрицы плотности (3) от решений ур-ния (5), к-рое становится нелинейным и может поэтому иметь более одного набора решений. Так, при выполнении нек-рых условий возможно сосуществование двух решений ур-ния (5), отвечающих однородному и неоднородному состояниям системы, каждое из к-рых устойчиво в своей области плотностей и темп-р. Это соответствует фазовому переходу со спонтанным нарушением трансляц. симметрии и с появлением волн зарядовой плотности.

В др. формулировке метода С. п. заменяют гамильтониан (4) выражением, к-рое соответствует одночастичной картине. В методе вторичного квантования, где

эту картину нарушает входящий во взаимодействие оператор А, содержащий четыре операторные ф-ции вместо нужных двух. Модифициров. гамильтониан, отвечающий методу С. п., соответствует замене в А комбинаций их ср. значениями (матрицами плотности):

и имеет вид

Это выражение приводит к ур-нию Хартри - Фока (5) и в то же время реализует минимум величины что и соответствует методу С. п. как наилучшему из одночастпчных способов описания. Применения метода. Простейший объект приложения метода С. п.- бесконечная однородная система взаимодействующих по закону Кулона ферми-частиц с массой т, зарядом е и спином ¹/₂ (электронов) в присутствии однородного компенсирующего фона противоположного знака заряда. В методе С. п. энергия такой системы в единице объёма равна гдеп - плотность числа частиц, первый член - кинетическая, второй - обменная энергия. Этот результат используют для упрощения интегродифференц. ур-ния Хартрп - Фока (5), заменяя его дифференц. ур-нием Хартри - Фока - С л эте р а, где - локальное значение плотности числа частиц.

Др. упрощённым вариантом метода С. п. является метод Томаса - Ферми (квазиклассич. приближение к методу С. п.), применимый к слабо неоднородным системам, где ср. расстояние между частицами меньше характерной длины, на к-рой заметно меняется плотность п др. параметры системы. В методе Томаса - Ферми используют выражения, справедливые для однородной системы, относя их в каждой точке к соответств. локальному значению плотности. Этот метод используют для описания тяжёлых атомов, вещества в экстремальных условиях высоких давлений или темп-р и др. Применяют и иные, более частные способы упрощения метода С. п. (напр., в теории атома часто используют усреднение С. п. по углам, упрощающее отделение угл. переменных).

Метод С. п. находит применение в физике атома и молекулы, ядерной физике, физике конденсиров. состояния вещества, физике плазмы и др. областях науки. Часто он даёт достаточно точное описание системы мн. частиц. Это относится, в частности, к атомно-молекулярной физике и теоретич. спектроскопии, где метод С. п. применяют особенно широко благодаря относительно малому вкладу корреляц. эффектов. Напр., в атоме Не (простейшей системе мн. частиц) этот вклад составляет ~ 1,5% от полной энергии электронной оболочки.

К числу др. важных применений метода С. п. в теории систем мн. частиц относятся описание равновесных п кинетич. свойств плазмы в бесстолкновит. режиме, Ландау теория фазовых переходов 2-го рода и др.

Обобщения метода. Существует ряд обобщений метода С. п., приспособленных для частичного описания корреляц. эффектов. Так, при необходимости учёта парных корреляций сверхпроводящего типа используют модифициров. гамильтониан (6), где заменяют ср. значениями комбинации что приводит к ур-ниям Хартри - шока - Боголюбова. Такой подход применяют в теории сверхпроводимости и в теории атомного ядра. Для описания многочастичных (дальних) корреляций, отвечающих поляризац. эффектам в кулоновской системе, используют зависящее от времени ур-ние Хартри - Фока:

(индекс указывает переменную, на к-рую действует оператор). Это ур-ние определяет нестационарную одночастичную матрицу плотности и оказывается равноценным приближению случайных фаз (приближению высокой плотности), совпадая в то же время с кинетич. ур-нием, включающим С. п. без учёта столкновений. Его применяют для описания коллективных возбуждённых состояний системы.

При необходимости систематич. описания корреляц. эффектов метод С. п. служит хорошим исходным приближением для последующего применения теории возмущения и диаграммной техники. Корреляц. части взаимодействия отвечает гамильтониан H'= H - H₀. Выбор при описании системы взаимодействующих частиц картины С. п. (а не картины невзаимодействующих частиц) в качестве исходного приближения упрощает ма-тем. аппарат описания корреляц. эффектов, в частности сокращается число диаграмм теории возмущений.

В последние годы в теории мн. частиц получил широкое распространение полуфеноменологпч. метод функционала плотности, обобщающий подход, основанный на ур-ниях Хартри - Фока - Слэтера и предназначенный для описания не только обменных, но и силовых корреляций. В этом методе используют ур-ния Кона-Шэма, имеющие вид ур-ний (5) с где член W₂, описывающий корреляции обоих типов, выбирают в виде относительно простого функционала плотности. Имея ограниченную и не всегда ясную область применимости, метод функционала плотности тем не менее успешно используется в физике атома, атомного ядра и в физике конденсиров. сред (в частности, для расчётов зонной структуры твёрдых тел, для описания поверхностных явлений). Лит.: Фок В. А., Многоэлектронная задача квантовой механики и строение атома, в кн.: Юбилейный сборник АН СССР, ч. 1, М- Л. 1947, с. 255; Хартри Д. Р., Расчеты атомных структур, пер. с англ., М., 1960; Т а у л е с Д., Квантовая механика систем многих частиц, пер. с англ., 2 изд., М., 1975, К и р ж н и ц Д. А., Полевые методы теории многих частиц, М 1963; Слэтер Дж., Методы самосогласованного поля для молекул и твердых тел, пер. с англ., М., 1978; Теория неоднородного электронного газа, пер. с англ., М., 1987. Д.А. Киржниц.

   <<      Предметный указатель      >>