связность

СВЯЗНОСТЬ дифференциально-геометрическая - правило, сопоставляющее каждому тензору типа (р, q)его ковариантную производную являющуюся тензором типа (р, q + 1). В координатах х¹,..., х^п С. задаётся набором Кристоффе-ля символов по ф-ле:

При замене координат величины должны заменяться на

С. определяет параллельный перенос тензоров вдоль кривых: тензор Т параллелен вдоль кривой , i = l,..., п, если . Ур-ниями определены геодезич. С.

Тензор кручения С. определяется ф-лой С. с нулевым кручением наз. симметричной. Кривизна С. определяется кривизны тензором

Через кривизну и кручение выражаются коммутаторы ковариантных производных, напр. для векторов Тⁱ имеем:

Евклидова С. задаётся, по определению, условиями в нек-рых координатах; в этом случав координаты наз. евклидовыми. В таких координатах ковариантные производные совпадают с частными. Тем самым евклидова С. определяет правила дифференцирования тензоров в любых криволинейных координатах. С. является евклидовой (локально), если её кривизна и кручение равны нулю.

В римановом пространстве (или псевдоримановом пространстве) С, однозначно определяется по римановой метрике (индефинитной метрике) g_ij условиями , . Параллельный перенос при этом сохраняет длины векторов и углы между ними:

тензор кривизны этой С. наз. тензором кривизны риманова пространства.

С. и построенные по ней тензоры используются в ур-ниях общей теории относительности.

С. в расслоении со структурной группой G - то же, что калибровочное поле. Поля , принимающие значения в зарядовом пространстве, играют при этом роль тензорных полей. Если А_i(х)- калибровочное поле, принимающее значение в Ли алгебре L(G) группы G симметрии зарядового пространства (т. е. матричнозначное), то ковариантные производные поля определяются ф-лами:

Осн. их свойство - при локальных зарядовых преобразованиях [где ф-ция g(x)принимает значения в группе GJ и калибровочных преобразованиях

производная преобразуется ковариантно: . Это даёт однозначный рецепт введения взаимодействия полей A_i(x) и: если- свободный лагранжиан поля, инвариантный относительно зарядовых преобразований, то лагранжиан описывает калибровочно-инвариантное взаимодействие полей А_i и

Параллельный перенос поля вдоль кривой xⁱ = xⁱ(t)определяется из ур-ния. Кривизна С. в расслоении определяется ф-лой:

где скобки обозначают коммутатор. При калибровочных преобразованиях она меняется по закону:

Если кривизна С. равна нулю, то калибровочное поле локально представляется в виде

и калибровочным преобразованием приводится к нулевому. Кривизна С. определяет изменение поля при параллельном переносе вдоль контура бесконечно малого параллелограмма со сторонами ,: . Она удовлетворяет тождеству Б ь я н к и:, где . В полный лагранжиан калиоровочных теории, используемых, напр., в теории сильных взаимодействий, кривизна входит в инвариантной комбинации - (здесь Sp - след матрицы, е - заряд).

Лит.: Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988; Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., М., 1986. Б. А. Дубровин.

   <<      Предметный указатель      >>