сигма-модели

СИГМА-МОДЕЛИ (-модели) - модели теории поля, в к-рых т скалярных полей(i = 1, ..., т)могут рассматриваться как задающие отображение d-мерного пространства-времени (произвольной сигнатуры) в нек-рое многообразие М размерности т с метрикой, причём действие имеет вид:

Здесь - безразмерная константа связи, х - точка d-мерного пространства-времени, , (по совпадающим верх. и ниж. индексам предполагается суммирование).

Исторически первая С--м. возникла как эфф. теория безмассовых возбуждений в следующей задаче. Рассмотрим теорию (т + 1)-компонентного поля и с действием

Если потенциал V(n²)обладает минимумом при n² = 1, то вблизи минимума имеются одно массивное поле, описывающее флуктуации модуля, и т безмассовых полей, описывающих флуктуации направления поля и с сохранением величины n² = 1. Безмассовые поля допускают интерпретацию как координаты , ..., т)на сфере n² = 1, и вклад полей в действие (2) даётся ф-лой (1), где - индуциров. метрика на сфере. Первое приложение этой схемы было связано с теорией трёх псевдоскалярных-мезонов, к-рые отождествлялись с полями в случае m = 3, а роль массивного поля |п| играла т. н.-частица, к-рая и дала назв. модели. Дальнейшее развитие в этом направлении привело к Скирма модели, эффективно описывающей низкоэнергетич. предел квантовой хромодинамики (КХД) и физику адронов.

С--м. с действием (1) допускает два обобщения. Во-первых, вместо плоского d-мерного пространства-времени можно рассматривать искривлённое. При этом в (1) появится метрика (гравитац. поле) и действие приобретёт вид:

. Имеет смысл также рассматривать пространство-время произвольной топологии. Такие теории лучше всего изучены в случае d = 2, они играют значит. роль в совр. теории струн (см. Струн теория ).Для струнных приложений представляют также интерес С--м., в к-рых М не являются многообразиями, а могут иметь разл. рода сингулярности, при этом действие должно быть доопределено в сингулярных точках. Во-вторых, при нек-рых значениях d (напр., d = 1, 2) можно рассматривать суперсимметричные (см. Суперсимметрия)С--м., в к-рых заменяются на координаты, в суперпространстве ( - нечётная координата), а поля - на суперполя =. Здесь - фермионные компоненты суперполей, к-рые можно интерпретировать как касательные векторы к многообразию М.

Совр. интерес к С--м. объясняется гл. обр. их прямой связью с геометрией. Геом. структуры на многообразии М проявляются в физ. свойствах соответствующих С--м. Напр., если М - однородное многообразие, М = G/H, то С--м. (1) может быть альтернативным образом описана как С--м. на М = G, взаимодействующая с дополнит. калибровочным полем, отвечающим группе Н. Это одно из обстоятельств, связывающих С--м. с теориями Янга - Миллса полей. Другие яркие примеры проявления геометрии М в структуре С--м. связаны с суперсимметричными С--м. В случае d = 2 С--м. обладает расширенной (N = 2)-суперсимметрией, если многообразие М кэлерово, и (N = 4)-суперсимметрией, если М гиперкэлерово (см. Симплектическое многообразие ).В случае d = 4 суперсимметричные С--м. существуют только на кэлеровых многообразиях, а для (N = 2)-суперсимметрии требуется гиперкэлерово многообразие. Несколько иные ограничения на геометрию М возникают, если строить суперсимметричную С--м., взаимодействующую с супергравитацией [т. е. суперобобщение действия (3)].

С--м. являются удобным инструментом исследования общих свойств квантовой теории поля (КТП). Уже при d = 1 С--м. позволяют исследовать проблему упорядочения операторов. В случае однородных многообразий или суперсимметричных С--м. ставится и исследуется вопрос о совместимости разл. способов упорядочения со свойствами симметрии теории. Мн. С--м. при d = 2 оказываются очень похожими по своим свойствам на 4-мерные теории Янга - Миллса. В частности, имеются асимптотическая свобода и широкий спектр непертурбативных явлений, включая спонтанное нарушение симметрии и её восстановление, инстантонные флуктуации (см. Инстантон ),образование конденсатов (в т. ч. фермионных пар в суперсимметричных С--м.). Это позволяет оценивать применимость разл. непертурбативных методов, первоначально развитых для изучения явления конфайнмента в КХД (инстантонное исчисление, решёточные и компьютерные вычисления и др.), на другом, значительно более простом примере двумерной теории.

Выше отмечалось, что С--м. обычно возникают как эфф. теории безмассовых полей в более общих нелинейных теориях поля. В важных приложениях эти степени свободы отвечают коллективным возбуждениям и не входят в число первичных полей исходной теории. Чаще всего в С--м. поля описывают квазичастицы, возникающие при спаривании фермионов. По существу таковы упоминавшиеся я-мезоны (составленные из кварка и антикварка, окружённых глюонным облаком). Др. важные примеры имеются в физике твёрдого тела (квантовый Холла эффект ,модели сверхпроводимости и др.) и в теории элементарных частиц (супергравитация и др.).

С--м., описывающие квазичастицы, чаще всего отличаются от моделей с действием (1) - (3) добавлением аномальных слагаемых, связанных с нетривиальностью гомотопич. групп и (см. Топология ).В первом случае такие слагаемые в действии наз. т о п о л о г и ч е с к и м и, во втором - весс-зуминовскими членами (J. Wess, В. Zumino, 1973). Первые изменяют непертурбативные свойства теории, вторые - проявляются и в теории возмущений. Важный пример топологического заряда при d = 2 возникает уже в С--м. на двумерной сфере, М = S², заданной условием п² = 1:

( - антисимметрич. тензор, ). Выражение под интегралом (с учётом условия n² = 1) является полной производной, (нек-рого тока), и интеграл определяет весс-зуминовский член в одномерной (d= 1) С--м. на М = S². Весс-зуминовский член при d = 2 отвечает нетривиальной гомотопич. группе : в случае М = S² он связан с топологич. характеристикой отображения трёхмерной сферы в двумерную (известной в математике как инвариант Хопфа), а в случае М = S³ - с топологическим зарядом, аналогичным (4).

При d = 2 С--м. является перенормируемой КТП, несмотря на сильную нелинейность действия. При этом в зависимости от выбора многообразия М С--м. в рамках теории возмущений может быть асимптотически свободной или иметь ренормализац. поведение, отвечающее нуль-зарядной ситуации (см. Нуль-заряд ).Двумерная С--м. имеет тождественно нулевую бета-функцию, если она обладает (N = 4)-суперсимметрией. Этого же можно добиться введением весс-зуминовского или топологического члена с подходящим коэф. без обращения к супереимметрии и гиперкэлерову многообразию.

Весс-зуминовские члены и топологич. заряды возникают в эффективных С--м. как отражение аномалий исходных фермионных теорий. Важную роль в С--м. играют также их собственные квантовые аномалии. Аномальными могут быть d-мерная общекоординатная инвариантность в теории с действием (3), калибровочная H-симметрия в случае М = G/H, вейлевская симметрия [где - нек-рое вещественное поле], имеющаяся в теории с действием (3) при d = 2.

Двумерные С--м. с нулевой бета-функцией, являющиеся конформно-инвариантными (см. Конформная инвариантность ),играют большую роль в теории струн, где они описывают всевозможные решения струнных ур-ний движения. В настоящее время активно изучается вопрос о классификации всех конформно-инвариантных теорий и развиваются общие методы вычислений в конформных С--м. Наиб. существ. продвижение в этом направлении достигнуто пока для более узкого класса (N = 2)-суперконформных моделей при d = 2, классификация к-рых близка к классификации особенностей в катастроф теории.

Лучше всего изучены одномерные С--м. На совр. этапе исследований осн. внимание уделяется развитию теории двумерных С--м., как из-за их относит. простоты, так и из-за явной связи с теорией Янга - Миллса и теорией струн. Общая матем. теория таких С--м. должна включать в себя теорию бесконечномерных и квантовых Ли алгебр, но она ещё не разработана. Единый подход к изучению многомерных (d > 2) С--м. пока отсутствует.

Лит.: Gell-Mann M., Levy M., The axial vector current in b-decay, «NUOVO Cim.», 1960, v. 16, p. 705; W i t t e n E., Supersymmetry and Morse theory, «J. Dili. Geom.», 1982, v. 17, p. 661; Perelomov A., Chiral models: geometrical aspects, «Phys. Repts», 1987, v. 146, p. 136. А. Ю. Морозов.

   <<      Предметный указатель      >>