симметрия

СИММЕТРИЯ в физике. В том случае, когда состояние системы не меняется в результате к--л. преобразования, к-рому она может быть подвергнута, говорят, что система обладает С. относительно данного преобразования. С. физ. системы определяется С. её Гамильтона функции или (в квантовой механике) её гамильтонианом ,т. е. преобразованиями С. для физ. системы являются преобразования, не меняющие её гамильтониана. В математике такие преобразования составляют группу. Фундам. значение С. в физике определяется прежде всего тем, что каждому непрерывному преобразованию С. отвечает сохранения закон нек-рой физ. величины, связанной с указанной С. (см. Нётер теорема ).Т. о., само существование сохраняющихся физ. величин обусловлено определёнными типами С., а физ. величины выступают в качестве генераторов соответствующих преобразований.

С др. стороны, осн. принцип совр. калибровочных теорий фундам. взаимодействий природы (напр., сильного и электрослабого), заключающийся в том, что в качестве источников калибровочных полей - переносчиков взаимодействия - выступают определённые сохраняющиеся величины, играющие тем самым роль «зарядов», может быть реализован только при наличии вполне определённых локальных С. Существование такого рода С. однозначно определяет ур-ния, описывающие поведение калибровочных полей. Т. о., симметрия взаимодействий в этом случае полностью определяет их динамику. Подобный подход может быть использован и в теории гравитации. Поэтому соображения о С. взаимодействий лежат в основе попыток построения единой теории всех сил природы (см. Великое объединение).

Спец. вопросом является теория С. молекул и кристаллов, к-рая, используя теоретико-групповые методы, устанавливает классы симметрии кристаллов, типы симметрии молекул, классификацию их термов, возможность переходов между ними и т. д. На основе теории С. даётся описание физ. явлений в средах с определённой С.

Среди разных типов С. различают пространственно-временные С. и внутренние С.

Пространственно-временные симметрии Пространственно-временные С. являются наиб. общими С. природы. Их можно разделить на С., связанные с непрерывными и дискретными преобразованиями.

К непрерывным преобразованиям относятся следующие.

(1) Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве [пространственно-временные преобразования (1) - (4) можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование - реальный перенос физ. системы относительно выбранной системы отсчёта; как пассивное преобразование - параллельный перенос системы отсчёта]. С. физ. законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства, т. е. отсутствие в пространстве к--л. выделенных точек (однородность пространства).

(2) Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени); С. относительно этого преобразования означает эквивалентность всех моментов времени (однородность времени), благодаря к-рой физ. законы не меняются со временем.

(3) Поворот системы как целого в пространстве; С. физ. законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).

(4) Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. С. относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта.

Все указанные С. отражают свойства плоского 4-мерного пространства Минковского с псевдоевклидовой метрикой (см. Относительности теория ).Преобразования (1) и (2) представляют сдвиги, а (3) и (4) - повороты в пространстве Минковского. С. относительно 1 первых двух преобразований приводит к законам сохранения импульса и энергии, а С. относительно поворотов - к закону сохранения момента и равномерному прямолинейному движению центра инерции физ. системы (в инерциальной системе координат).

Это имеет глубокий смысл. Поскольку при всех наблюдениях изучается не само пространство, а поведение материальных объектов (в т. ч. и распространение света), то, по мысли А. Пуанкаре (A. Poincare), не может существовать «абсолютная» геометрия пространства, оторванная от физ. явлений. Геом. аксиомы, согласно Пуанкаре, представляют собой условные положения (соглашения), при выборе к-рых руководствуются лишь опытными фактами, но сам выбор остаётся свободным и ограничен только необходимостью избегать внутр. противоречий. Евклидова геометрия, по мысли Пуанкаре, является предпочтительной, т. к. она проще других геометрий и в достаточной степени согласуется со свойствами твёрдых тел. Однако Пуанкаре упускал связь С. пространства с законами сохранения. Если принять в качестве постулата независимое существование всех перечисленных выше законов сохранения, связывающих все возможные процессы в природе (независимо от того, какими силами они вызываются), то 4-мерное пространство Минковского с псевдоевклидовой метрикой может рассматриваться именно в качестве «абсолютной» геометрии пространства-времени. При этом в пространстве Минковского может быть построена и релятивистская теория гравитации, результаты к-рой для экспериментально наблюдавшихся в Солнечной системе явлений совпадают с выводами общей теории относительности А. Эйнштейна (A. Einstein) (ОТО). Риманово пространство ОТО с точки зрения этой теории является «эффективным» пространством, к-рое не может иметь сложной топологии, поскольку «кривизна» его связана с универсальным «искривлением» движения материальных объектов под действием гравитац. поля в пространстве Минковского. В такой теории естественно выполняются все законы сохранения и возможна локализация энергии - импульса гравитац. поля, не существующая в римановом пространстве (напр., для сильных гравитац. полей).

Дискретные пространственно-временные симметрии. Слабое и сильное отражение. СРТ-симметрия. Из свойств пространства Минковского и осн. положений квантовой теории поля следует, что для любой частицы, обладающей к--л. зарядом, должна существовать симметричная ей античастица (обладающая той же массой, временем жизни и спином, но с противоположным значением заряда), а также необходимость определённой С. между движениями частиц и античастиц. Основой для указанной С. является то, что одноврем. отражение всех пространственных oceit (Р)и временной оси (Т)(т. е. переход к зеркальной системе пространственных координат и отсчет времени в обратном направлении) формально сводится к повороту в пространстве Минковского на мнимый угол (в евклидовом пространстве чётное число отражений сводится к реальному повороту). Поэтому теория, удовлетворяющая требованиям релятивистской инвариантности, т. е. инвариантная относительно поворотов в пространстве Минковского, должна быть инвариантна и относительно т. н. слабого отражения (РТ). (То, что при этом поворот осуществляется на мнимый угол, не имеет принципиального значения, по крайней мере, для теорий с локальным взаимодействием частиц с конечным спином.)

Поскольку при слабом отражении энергия и импульс частиц меняются на противоположные значения, инвариантность теории относительно слабого отражения, казалось бы, приводит к существованию физически недопустимых состояний с отрицат. энергиями. В квантовой теории поля это можно устранить, истолковав движение частиц с отрицат. энергиями как обращённое но времени, зеркально симметричное движение частиц с положит. энергиями, но с противоположным значепнем заряда. Т. о., необходимость существования античастиц следует из требования релятивистской инвариантности и положительности энергии. (По. существу из тех же самых требовании вытекает связь спина частиц с их статистикой - см. Паули теорема.)Законы природы оказываются, следовательно, симметричными относительно т. н. сильного отражения (СРТ), заключающегося в одноврем. проведении слабого отражения и зарядового сопряжения (С)(т. е. перехода от частиц к античастицам). Это утверждение составляет содержание теоремы СРТ, согласно к-рой для любого движения частиц может осуществляться в природе симметричное ему (обращённое по времени, зеркально отражённое) движение античастиц.

Несмотря на то что из общих принципов теории следует С. лишь относительно одноврем. проведения преобразований Р, Т, С, в широком классе явлений существует С. по отношению к каждому из указанных преобразований в отдельности.

Зеркальная симметрия (С. относительно инверсии Р). Осуществляется в процессах, вызываемых сильными и эл--магн. взаимодействиями, а также в системах, связанных с помощью этих взаимодействий (атомах, атомных ядрах, молекулах, кристаллах и т. д.). Наличие зеркальной С. означает, что для любого процесса, обусловленного сильным или эл--магн. взаимодействием, с равной вероятностью могут осуществляться два зеркально-симметричных перехода. Это обусловливает, напр., симметричность относительно плоскости, перпендикулярной спину, угл. распределения квантов, испускаемых поляризов. ядрами [поскольку вероятности вылета-кванта под углами и к спину ядра одинаковы: ]. Зеркально-симметричные состояния отличаются друг от друга противоположными направлениями скоростей (импульсов) частиц и электрич. полей и имеют одинаковые направления магн. полей и спинов частиц. С. гамильтониана относительно пространственной инверсии отвечает закон сохранения пространственной чётности системы. Пространственная чётность, подобно др. величинам, существование к-рых связано с дискретными С., не имеет аналога в классич. механике (т. к. в последней нет понятия относит. фазы между состояниями), однако она может служить характеристикой волновых движений (напр., в волноводах).

Наличие зеркальной С. гамильтониана взаимодействий не исключает возможности существования физ. состояний, где такая С. нарушена. Примером могут служить изомерные молекулы, к-рые вращают плоскость поляризации света в противоположные стороны. Существование изомерии молекул явно нарушает зеркальную С. и представляет собой случай т. н. спонтанного нарушения симметрии. Общая С. гамильтониана относительно инверсий проявляется в том, что для любой, напр. левовращающей, молекулы существует правовращающий изомер, представляющий собой зеркальное изображение первой. Формальное нарушение зеркальной С. связано, т. о., в этом случае с вырождением осн. состояния и асимметрией физ. вакуума для света, распространяющегося в веществе из одних правовращающих или левовращающих молекул.

Зарядовая симметрия. Сильные и эл--магн. взаимодействия инвариантны относительно операции зарядового сопряжения: замены всех частиц на соответствующие им античастицы. Эта С. не является пространственной и рассматривается в этом разделе из-за её связи с СРТ-симметрией. Зарядовая С. приводит к закону сохранения особой величины - зарядовой чётности (или С-чётности), характеризующей истинно нейтральную частицу (или систему частиц, не обладающую к--л. зарядом), переходящую сама в себя при зарядовом сопряжении.

СР-симметрия. С. гамильтониана относительно преобразования пространственной инверсии одновременно с зарядовым сопряжением (комбиниров. инверсия) наз. СР-симметрией. Поскольку сильные и эл--магн. взаимодействия симметричны относительно каждого из этих преобразований, они симметричны и относительно комбиниров. инверсии. Однако относительно этого преобразования оказываются симметричными и слабые взаимодействия, к-рые не обладают С. по отношению к преобразованию инверсии и зарядовому сопряжению в отдельности. С. процессов слабого взаимодействия относительно комбиниров. инверсии может служить указанием на то, что отсутствие зеркальной С. в них связано со структурой элементарных частиц и что античастицы по своей структуре являются как бы «зеркальным изображением» соответствующих частиц. В этом смысле процессы слабого взаимодействия, происходящие с к--л. частицами, и соответствующие процессы с их античастицами связаны между собой так же, как и явления в оптич. изомерах.

Открытие распадов долгоживущих-мезонов на два-мезона и наличие зарядовой асимметрии в распадах (см. К-мезоны)указывают на существование сил, несимметричных относительно комбиниров. инверсии. Пока не установлено, являются ли эти силы малыми добавками к известным фундам. взаимодействиям (сильному, эл--магн., слабому) или же имеют особую природу. Возможно, что нарушение СР-симметрии связано со спонтанным нарушением С. физ. вакуума в нашей области Вселенной.

Симметрия относительно обращения времени (Т). Благодаря существованию СРТ- и СР-симметрий как для сильных, так и для электрослабых взаимодействий (исключая взаимодействие, нарушающее СР-симметрию) выполняется С. относительно обращения времени. Она означает, что любому движению под действием этих сил соответствует в природе симметричное движение, при к-ром система проходит в обратном порядке все состояния, что и в первоначальном движении, но с изменёнными на противоположные направлениями скоростей частиц, спинами и магн. полями. Из Т-симметрии следуют соотношения между прямыми и обратными реакциями, позволяющие экспериментально проверять выполнение Т-инвариантности в разл. процессах (см. Деталгмого равновесия принцип), а также ряд др. заключений (см., напр., Крамерса теорема).

Симметрия относительно перестановки одинаковых частиц. При квантовомеханич. описании систем, содержа щих одинаковые частицы, эта С. приводит к принципу неразличимости одинаковых частиц, к полной их тождественности. Волновая ф-ция системы симметрична относительно перестановки любой пары одинаковых частиц с целым спином (т. е. перестановки их пространственных и спиновых переменных) и антисимметрична относительно такой перестановки для частиц с полуцелым спином. Связь спина и статистики является следствием релятивистской инвариантности теории и тесно связана с СРТ-теоремой.

Симметрия (или антисимметрия) волновой ф-ции относительно перестановки одинаковых частиц является простейшим (одномерным) представлением группы перестановок. В принципе математически возможно существование более сложных (многомерных) представлений этой группы (см. Парастатистика ).Реальные более сложные типы С. возникают отдельно для координатных (или спиновых) волновых ф-ций одинаковых частиц, когда рассматриваются перестановки только координат (или только спинов) одинаковых частиц (см. Юнга схемы).

Внутренние симметрии. Под внутренними С. понимают С. между частицами (в квантовой теории поля - между полями) с различными внутренними квантовыми числами. Среди различных внутр. С. можно выделить глобальные С. и локальные С.

Глобальные С. Примером такой С. является инвариантность лагранжиана относительно следующих калибровочных пребразований входящих в него полей:

,

где - произвольное число, а числа Q_i фиксированы для каждого поля. Эта инвариантность приводит к аддитивному закону сохранения заряда= const. Наряду с электрическим в качестве зарядов могут выступать и др. заряды: барионный, лептонный, странность и т. д. Инвариантность относительно преобразования (1) выполняется, когда в лагранжиан симметрично в виде комбинации входят два

действительных поля и (с одинаковыми массами). В этом случае они могут быть заменены комплексными полями

Преобразование (1) отвечает преобразованию «поворота» полей вокруг фиксиров. оси:

Симметрия (1) наз. глобальной С., если параметр преобразования не зависит от пространственно-временных координат точки, в к-рой рассматривается поле. Преобразования (1) с разл. параметрами коммутируют между собой и составляют абелеву группу U (1) [см. Симметрия U(1)]. Если лагранжиан симметричен относительно преобразований «поворотов» неск. комплексных полей, то возникают более сложные, неабелевы группы С. с неск. параметрами, напр. группа SU(2)для изотопического спина [см. Симметрия SU(2)], группа SU(3)для цветовой С. [SU_с(3), см. Цвет, Симметрия SU(3)] или С. между ароматами кварков [SU_f(3)]. Во всех случаях С. наз. глобальной, если параметры преобразований не зависят от пространственно-временных координат.

Дополнительная, т. н. киральная симметрия возникает для частиц нулевой массы. Поскольку для безмассовых частиц сохраняется их спиральность ,наличие к--л. внутр. С. для них приводит к тому, что она может выполняться независимо для левых и правых частиц (с положит. и отрицат. спиральностью). Так, для безмассовых и-, d-кварков должна быть группа С.

Локальные С. Если параметры преобразований для глобальных С. можно рассматривать как произвольные ф-ции пространственно-временных координат, то говорят, что соответствующие С. выполняются локально. Предположение о существовании локальной С. позволяет построить теорию, в к-рой сохраняющиеся (благодаря наличию глобальной С.) величины (заряды) выступают в качестве источников особых калибровочных полей, переносящих взаимодействие между частицами, обладающими соответствующими зарядами. Поскольку во всякую динамич. теорию входит обобщённый импульс, оператор к-рого при действии на преобразованное поле приводит в случае локальной С. к появлению произвольных ф-ций [напр., для преобразования (1)], то инвариантность теории возможна лишь при условии, когда возникающий произвол каким-то образом компенсируется. Такая компенсация оказывается возможной, если обобщённый импульс входит в теорию в комбинации с нек-рым векторным полем, соответственно изменяющимся при калибровочных преобразованиях. Т. о., локальная С. может осуществляться только при наличии компенсирующих (калибровочных) полей. Для локальной U(1)-симметрии обобщённый импульс должен входить в комбинации с векторным полем, к-рое при преобразованиях (1) изменяется по закону

Произвол, существующий в определении поля (произвольная ф-ция ), устраняется в тензоре Поэтому физ. величинами являются компоненты тензора, из к-рого однозначно строится лагранжиан поля

Для локальных неабелевых С. необходимо существование неск. векторных калибровочных полей, к-рые в этом случае будут сами обладать «зарядами» и взаимодействовать между собой. Требование отсутствия калибровочного произвола в физ. величинах позволяет однозначно установить закон взаимодействия этих полей. Впервые модель с локальной изотопической SU(2)-симметрией была рассмотрена Ч. Янгом (Ch. Yang) и Р. Л. Миллсом (R. L. Mills) в 1954. Успех квантовой хромодинамики, построенной на основе локальной цветовой SU_с(3)-симметрии и теории электрослабых взаимодействий, позволяет предположить, что требование локальной С. является общим принципом построения теории фундаментальных взаимодействий. Исходя из этих принципов строятся разл. модели Великого объединения, в к-рых пытаются учесть наблюдаемую в электрослабом взаимодействии С. между лептонами и кварками, С. между разл. поколениями лептонов и кварков, а также использовать предполагаемую суперсимметрию, связывающую частицы с целым и полуцелым спином (см. Суперсимметрия, Супергравитация).

Нарушение симметрии. Многие из С. природы являются приближёнными или нарушенными. Следует различать при этом явное и спонтанное нарушение симметрии. Явное нарушение С. обусловлено нарушением С. эффективного гамильтониана системы [напр., нарушение изотопич. инвариантности и -симметрии по ароматам кварков связано с различием их масс]. Спонтанное нарушение С. происходит из-за нарушения С. вакуума, к-рый при симметричном гамильтониане может быть вырожденным (см. Вырождение вакуума ).Спонтанное нарушение глобальных С. приводит к появлению безмассовых (голдстоуновских) частиц (см. Голдстоуна теорема, Голдстоуновские бозоны). Спонтанное нарушение калибровочных С. может, наоборот, приводить к тому, что безмассовые частицы, отвечающие калибровочным полям (какими являются, напр., поля промежуточных -бозонов), приобретают массу (см. Хиггса бозоны ).Спонтанное нарушение дискретных С. может быть в принципе причиной появления Р- или СР-несимметричных вакуумов в определённых частях Вселенной и объяснять наблюдаемые явления нарушения Р- или СР-чётности.

При достаточно высоких энергиях, когда становятся возможными переходы между различными физ. вакуумами, спонтанно нарушенная С. может восстанавливаться.

Симметрия квантовомеханических систем и вырождение. Если квантовомеханич. система обладает определённой С., то операторы сохраняющихся физ. величин, соответствующих этой С., коммутируют с гамильтонианом системы. Если нек-рые из этих операторов не коммутируют между собой, уровни энергии системы оказываются вырожденными (см. Вырождение: )определённому уровню энергии отвечают неск. различных состояний, преобразующихся друг через друга при преобразованиях С. В матем. отношении эти состояния представляют базис неприводимого представления группы С. системы. Это обусловливает плодотворность применения методов теории групп в квантовой механике.

Помимо вырождения уровней энергии, связанного с явной С. системы (напр., относительно поворотов системы как целого), в ряде задач существует дополнит. вырождение, связанное с т. н. с к р ы т о й С. взаимодействия. Такие скрытые С. существуют, напр., для кулоновского взаимодействия и для изотропного осциллятора. Скрытая С. кулоновского взаимодействия, приводящая к вырождению состояний с разл. орбитальными моментами, обусловлена, как показал В. А. Фок (1935), явной С. кулоновского взаимодействия в 4-мерном импульсном пространстве.

Если система, обладающая к--л. С., находится в поле сил, нарушающих эту С. (но достаточно слабых, чтобы их можно было рассматривать как малое возмущение), происходит расщепление вырожденных уровней энергии исходной системы: разл. состояния, к-рые в силу С. системы имели одинаковую энергию, под действием «несимметричного» возмущения приобретают разл. энергетич. смещения, а в случаях, когда возмущающее поле обладает нек-рой С., составляющей часть С. исходной системы, вырождение уровней энергии снимается не полностью: часть уровней остаётся вырожденной в соответствии с С. взаимодействия, «включающего» возмущающее поле.

Наличие в системе вырожденных по энергии состояний в свою очередь указывает на существование С. взаимодействия и позволяет в принципе найти эту С., когда она заранее неизвестна. Последнее обстоятельство играет важнейшую роль, напр., в физике элементарных частиц.

Динамические симметрии. Оказалось плодотворным понятие т. н. динамич. С. системы, к-рое возникает, когда рассматриваются преобразования, включающие переходы между состояниями системы с разл. энергиями. Неприводимым представлением группы динамич. С. будет весь спектр стационарных состояний системы. Понятие динамич. С. можно распространить и на случаи, когда гамильтониан системы зависит от времени, причём в одно неприводимое представление динамич. группы С. объединяются в этом случае все состояния квантовомеханич. системы, не являющиеся стационарными (т. е. не обладающие заданной энергией).

Лит.: В и г н е р Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971; Гибсон У., Поллард Б., Принципы симметрии в физике элементарных частиц, пер. с англ., М., 1979; Пуанкаре А., О науке, пер. с франц., М., 1983; Эллиот Д ж., Д о б е р П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983; Логунов А. А., Лекции по теории относительности и гравитации, М., 1987; Фейнман Р., Характер физических законов, пер. с англ., М., 1987. С. С. Герштейн.

   <<      Предметный указатель      >>