симметрия su

СИММЕТРИЯ SU (2). В физике обычно реализуется как инвариантность относительно группы матричных преобразований над полями, где U_ji - матричное представление группы SU(2). Группа SU(2) - совокупность унитарных унимодулярных матриц 2-го порядка (образующая группу по отношению к обычному матричному умножению). Унитарность обеспечивает неизменность нормы двумерного комплексного вектора (столбца), к-рый преобразуется такой матрицей. Условие унимодулярности, т. е. равенство определителя единице, исключает матрицы, отличающиеся от единичной лишь домножением на числовой фазовый множитель.

Любая унитарная унимодулярная матрица U представима в виде , где Н - эрмитова бесследовая матрица, к-рую можно выразить линейной комбинацией n² - 1 линейно независимых базисных матриц такого типа (для матриц n-го порядка). Каждая унитарная унимодулярная матрица 2-го порядка задаётся тремя веществ. параметрами, к-рые могут принимать непрерывные значения. Это значит, что SU(2)- трёхпараметрич. группа Ли. SU(2) - простая группа, т. е. она не содержит инвариантных подгрупп Ли.

Отметим роль условия унимодулярности. Отказавшись от него, мы получим группу U(2), к-рая является прямым произведением двух групп - группы SU(2) и абелевой группы Ли U(1), соответствующей числовым фазовым множителям. Каждая из них является инвариантной подгруппой группы U(2). Подчеркнём, что группа SU(2) неабелева, т. е. два преобразования, являющихся её элементами, могут не коммутировать друг с другом.

Если матрицы, реализующие группу SU(2), параметризовать в виде

где - Паули матрицы, п - вещественный единичный 3-компонентный вектор (п² = 1), то бесконечно малые преобразования порождаются генераторами группы. Их перестановочные соотношениясовпадают с соотношениями для генераторов 3-мерной вращений группы O(3). Поэтому малые преобразования группы SU(2)эквивалентны преобразованиям группы O(3), причём вектор п указывает направление оси вращения, а _ угол поворота. Но соответствие групп не однозначное, поскольку в группе 0(3) поворот на угол считается неотличимым от тождественного преобразования, тогда как соответствующая матрица 2x2 отличается от единичной знаком. В связи с этим говорят о двузначных представлениях 3-мерной группы вращений. Ли алгебра генераторов группы SU(2)[или O(3)] - единственная алгебра Ли 1-го ранга, т. е. такая, что диагоналпзовав один генератор (обычно I₃), невозможно, вообще говоря, диагонализовать ещё к--л. другой генератор. Соответственно, в этой алгебре существует лишь один Казимира оператор (т. е. оператор, построенный из генераторов и коммутирующий со всеми генераторами). Он имеет вид:

Задание его численного значения достаточно для указания неприводимого представления. Возможные значения , где i - неотрицательное целое или полуцелое число.

Приложения С. SU(2)в физике связаны прежде всего с представлениями группы вращений 3-мерного пространства, отвечающими полуцелому спину. В частности, для спина ¹/₂ получаем 2-компонентные спиноры ,к-рые при вращениях преобразуются как раз унитарными унимодулярными матрицами 2-го порядка.

В физике элементарных частиц С. SU(2)широко используется также в связи с идеей изотопической инвариантности, предложенной В. Гейзенбергом (W. Heisenberg) для описания сходства взаимодействий протона и нейтрона. Считается, что изотопич. симметрия описывает точное свойство инвариантности сильных взаимодействий, хотя получаемые из неё соотношения в действительности всегда нарушаются на уровне точности порядка одного или неск. процентов.

Предположив, что изотопич. симметрия становится точной при «отключении» электродинамики, Ч. Янг (Ch. Yang) и Р. Миллс (R. Mills) предложили калибровочную теорию сильных взаимодействий, напоминающую квантовую электродинамику, но использующую неабелеву локальную группу С. SU(2)вместо абелевой локальной группы симметрии U(1). Хотя эта теория не подтверждается экспериментом (массы кварков и, d должны, видимо, различаться даже при «выключенной» электродинамике, что даёт малое, но неустранимое нарушение изотопич. симметрии), она стимулировала чрезвычайно плодотворное исследование неабелевых калибровочных квантовых теорий поля, к-рые приобрели название теорий типа Янга - Миллса. С этими теориями связано ещё одно приложение группы С. SU(2)к элементарным частицам. Стандартным стало совместное описание эл--магн. и слабых взаимодействий (см. Электрослабое взаимодействие ),основанное на калибровочной квантовой теории поля с локальной группой симметрии . В этой теории симметрия спонтанно нарушается, т. е. вакуум не является инвариантным относительно точной группы симметрии лагранжиана (см. Спонтанное нарушение симметрии). К--л. экспериментальных указаний на необходимость выхода за рамки такого описания электрослабых взаимодействий пока не обнаружено.

Лит.: Ферми Э., Лекции о я-мезонах и нуклонах, пер. с англ., М., 1956; Элементарные частицы и компенсирующие поля. Сб. ст., пер. с англ., М., 1964; Окунь Л. Б., Лептоны и кварки, 2 изд., М., 1990; его же, Физика элементарных частиц, 2 изд., М., 1988. Я. И. Азимов.

   <<      Предметный указатель      >>