симметрия

СИММЕТРИЯ SU(3). В физике обычно реализуется как инвариантность относительно группы матричных преобразований над полями , где - матричное представление группы SU(3). Группа SU(3) - совокупность унитарных унимодулярных матриц 3-го порядка U (к-рая образует группу по отношению к обычному матричному умножению). Для параметризации этих матриц нужен набор из 8(= 3² - 1) линейно-независимых эрмитовых бесследовых матриц. Обычно используют Гелл-Мана матрицы(k = 1, ..., 8). С их помощью любая матрица из множества U задаётся 8 вещественными параметрамив виде:

Т. о., группа SU(3)является 8-параметрич. группой Ли. В этом представлении и при такой параметризации генераторы группы . Их перестановочные соотношения:

где

Как и группа симметрии SU(2), группа SU(3)простая. Но, в отличие от SU(2), ранг группы SU(3)равен двум (отметим, что существуют ещё 2 простые группы Ли 2-го ранга). Это означает, что в любом представлении можно диагонализовать по меньшей мере два генератора. В стандартном представлении матриц диагональными выбираются 2-й ранг группы SU(3)имеет и др. проявления. По сравнению с группой SU(2)здесь есть добавочный инвариантный «тензор». Кроме полностью антисимметричного «тензора» есть другой «тензор», полностью симметричный: (аналогичное выражение для Паули матрицобращается в нуль). Далее, в отличие от SU(2), в группе SU(3)имеется два Казимира оператора ,коммутирующих со всеми генераторами. Один из них, квадратичный по генераторам, имеет структуру, аналогичную случаю SU(2):

Другой, кубичный, не имеет аналога в SU(2):

Неприводимое представление SU(3)задаётся указанием двух чисел, соответствующих значениям С₂ и С₃ в этом представлении. Часто, однако, его задают просто указанием числа элементов базиса представления: 1 для синглета, 3 для триплета, 8 для октета и т. д. Используют также обозначения типа или 3* для антитриплета, т. е. для представления, сопряжённого к триплетному и имеющего, очевидно, столько же элементов в базисе.

Элемент базиса в определённом неприводимом представлении SU(3)задаётся значениями двух диагональных генераторов (I₃ и I₈), тогда как в SU(2)он задаётся одним числом (I₃). Кроме того, в SU(3)возможно вырождение, т. е. одному и тому же выбору значений I₃ и I₈ могут отвечать два (или более) элемента базиса. Простейший пример этого вырождения приведён ниже в связи с унитарной симметрией.

Такое же вырождение встречается при разложении произведения двух неприводимых представлений в сумму по неприводимым представлениям (ряд Клебша - Гордана, см. Клебша - Гордана коэффициенты ).Это разложение в группе SU(3)может содержать одно и то же представление неск. раз, тогда как для группы SU(2)ряд Клебша - Гордана содержит каждое представление не более одного раза. Простым примером является прямое произведение двух октетов, в разложении к-рого октетное представление появляется дважды.

В физике элементарных частиц группа С. SU(3)появилась впервые (под назв. «унитарная симметрия») в качестве обобщения изотопической инвариантности в связи с моделью С. Сакаты (Sh. Sakata, 1956), в к-рой все адроны считались составленными из трёх основных - протона, нейтрона и Л-гиперона. Хотя модель Сакаты отвергнута экспериментом, унитарная симметрия сохранилась в виде «восьмеричного подхода» М. Гелл-Мана (М. Gell-Mann) и Ю. Неемана (Y. Neeman, 1964), в к-ром все адроны группируются в унитарные мультиплеты всего трёх типов: 1, 8, 10 ( для античастиц). Примером является барионный октет, включающий протон, нейтрон, три-гиперона, -гиперон и два-гиперона. Отметим вырождение, о к-ром говорилось выше: октет содержит два элемента с . В барионном октете это. Вырождение снимают обычно, выбирая определённое значение изотопического спина, хотя с чисто групповой точки зрения возможны др. варианты.

Ограниченность набора типов унитарных мультиплетов явилась одной из основ феноменология, модели кварков, составляющей мезоны из кварка и антикварка, а барионы из трёх кварков. Найдены убедительные свидетельства существования бескварковых мезонов (глюболов ),но не доказано существование адронов, спектроскопия к-рых требовала бы добавочных кварк-антикварковых пар.

Унитарная симметрия осуществляется с худшей точностью, чем изотопическая. Тем не менее, даже с учётом её нарушения, удаётся получить ряд интересных соотношений между физ. величинами. Наиб. известным соотношением такого рода является ф-ла масс Гелл-Мана - Окубо (см. Гипероны ),к-рая позволила Гелл-Ману предсказать существование и массу^--гиперона.

На кварковом уровне унитарная симметрия соответствует объединению трёх кварков и, d, s в унитарный триплет. Все остальные кварки считаются синглетами. В связи с такой структурой унитарной симметрии её часто называют флейворной С. SU(3)[обозначение SU(3)_f], чтобы отличить от др. приложений группы SU(3)в физике частиц (флейвор - в переводе с англ. аромат ).При кварковом подходе нарушение унитарной симметрии порождается заметным отличием массы s-кварка от масс и-, d-кварков. Возможность же объединения и-, d-, s-кварков в один триплет связана с тем, что различие их масс между собой мало по сравнению с их отличием от массы любого другого кварка.

Ещё одно чрезвычайно важное приложение группы С. SU(3) к физике адронов - это цветовая симметрия. Установлено, что каждый кварк имеет три возможных состояния, различающихся по квантовому числу, названному цветом. Изменение цветового состояния оставляет инвариантным лагранжиан, что порождает цветовую группу С. SU(3)[обозначение SU(3)_c]. В отличие от флейворной цветовая симметрия локальная, т. е. преобразование цветового состояния можно производить независимо в разных пространственно-временных точках. С этим связано существование нового поля, глюонного (см. Глюоны ),имеющего восемь цветовых состояний. Взаимодействие кварков с глюонным полем является «микроскопической» основой сильных взаимодействий. Оно описывается квантовой хромодинамикой - калибровочной квантовой теорией поля типа Янга - Миллса с локальной группой SU(3). Ещё одно важное отличие цветовой симметрии от флейворной в том, что SU(3)_cявляется точной симметрией ,к-рую не нарушают никакие известные в настоящее время взаимодействия [в отличие от симметрии, основанных на группе SU(2)].

Лит.: Элементарные частицы и компенсирующие поля. Сб. ст., пер. с англ., М., 1964; Окунь Л. Б., Физика элементарных частиц, 2 изд., М., 1988; Волошин М. Б., Т е р - М а р т и р о с я н К. А., Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц, М., 1984. Я. И. Азимов.

   <<      Предметный указатель      >>