симплектическая структура

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА - замкнутая невырожденная дифференциальная форма степени 2. Многообразие ,снабжённое С. с., наз. симплектическим многообразием. В каждом касательном пространстве С. с. задаёт кососкалярное произведение (см. в ст. Симплектическая группа ).Кососкалярное произведение пары векторов можно принять за определение площади натянутого на них параллелограмма. Поэтому на симплектич. многообразии определена площадь 2-мерных ориентированных поверхностей. Условие замкнутости С. с. связывает кососкаляр-ные произведения в соседних касательных пространствах таким образом, что (ориентированная) площадь (малой) замкнутой поверхности нулевая. Условие невырожденности кососкалярного произведения позволяет отождествить на симплектич. многообразии векторы и ковекторы (линейные ф-ции от векторов): Оба условия вместе делают локальную геометрию С. с. универсальной (теорема Дарбу): в окрестности любой точки существуют координаты (p₁, . ..,p_n, q₁ ,..., q_n), называемые координатами Дарбу, в к-рых С. с. принимают вид Для сравнения заметим, что в римановой геометрии риманова метрика (скалярное произведение в касательных пространствах) приводится в подходящих локальных координатах к виду (dx₁)² + ... + (dх_n)² лишь с точностью до членов 2-го порядка малости: (последние определяют кривизны риманова многообразия в данной точке).

С. с. естественным образом возникают в классич. механике, а также в комплексной геометрии. Пусть М^п - n-мерное комплексное многообразие, G - эрмитова метрика на нём (т. е. эрмитово скалярное произведение в касательных пространствах). Если рассматривать М как 2n-мерное вещественное многообразие, то g = ReG задаёт евклидово скалярное, а - кососкалярное произведение в касательных пространствах. Эрмитова метрика G наз. кэлеровой структурой, если w является С. с., т. е. замкнута: dw=0. Последнее условие необходимо и достаточно для того, чтобы эрмитова метрика G в подходящих локальных комплексных координатах приводилась к виду

Примеры. 1) Комплексное проективное пространство по определению состоит из всех комплексных одномерных подпространств в. Касательное пространство отождествляется с эрмитово-ортого-нальной гиперплоскостью к прямой х относительно эрмитовой формы . Форма, рассматриваемая на этой гиперплоскости, задаёт эрмитову форму в касательном пространстве к в точке х. Такие формы, определённые во всех точках, задают эрмитову метрику на. Эта метрика кэлерова и называется метрикой Фубини - Штуди.

2) Комплексное алгебраич. многообразие - это комплексное подмногообразие в комплексном проективном пространстве. Ограничение метрики Фубини - Штуди на такое подмногообразие наделяет его кэлеровой структурой. В частности, алгебраич. многообразия обладают С. с. Более общо, комплексное подмногообразие кэлерова многообразия само кэлерово.

3) Гиперкэлерова структура (на 4n-мерном вещественном многообразии) состоит из трёх комплексных структур I, J, К, удовлетворяющих соотношениям для образующих алгебры кватернионов |Н, и такой метрики Дирака , что соответствующие кососкалярные произведениязамкнуты. Т.о., касательные пространства к гиперкэлерову многообразию несут структуру кватернионного пространства, а само многообразие - риманову метрику, согласованную « тремя вещественными С. с., или в комплексной интерпретации - три кэлеровы структуры Z_I, Z_J, Z_K и три комплексные С. с. Z_I, Z_J, Z_K.

Отметим, что риманова метрика на 4-мерном (п = 1) гиперкэлеровом многообразии имеет антиавтодуальную форму кривизны и автоматически удовлетворяет ур-нию Эйнштейна (см. Тяготение ).Само гиперкэлерово многообразие наз. в этом случае гравитац. инстантоком, чем подчёркивается, что речь идёт не о метрике Минковского, а о евклидовой версии общей теории относительности.

Лит. см. при ст. Симплектическое многообразие. А. Б. Гивенталъ.

   <<      Предметный указатель      >>