симплектическое многообразие

СИМПЛЕКТИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ - многообразие ,снабжённое симплектической структурой.

С. м. играют фундам. роль в классич., статистич. и квантовой механике, поскольку симплектич. структура оказывается естественной геом. структурой фазовых пространств гамильтоновых систем. Все атрибуты гамильтонова формализма переносятся на любое С. м., а координаты Дарбу являются канонич. переменными.

Примеры. 1) Фазовое пространство. Пусть X - конфигурац. пространство механич. системы, М = Т*Х - его кокасательное расслоение .Локальные координаты в М - это обобщённые координаты (q₁, ..., q_n)точки q на X и обобщённые импульсы (p_I, ..., р_п)(координаты ковектора р из кокасательного пространства в точке q). Дифференциальная 1-форма наз. формой Лиувилля и допускает инвариантное определение: её значение на касательном векторе v к М в точке (р, q)задаётся как значение ковектора р на образе вектора v при проекции Симплектич. структура w на М определяется как дифференциал формы Лиувилля:

2) Картина Шрёдингера - подход, основанный на гамильтоновом векторном поле. Гамильтониан H (ф-ция на С. м.) задаёт векторное поле v_H по правилу: отвечающее v_H поле ковекторов должно совпадать с дифференциалом dII ф-ции Гамильтона. Движение фазовой точки со скоростью v_H описывается системой дифференциальных ур-ний, к-рая в координатах Дарбу принимает вид ур-ний Гамильтона:

3) Картина Гейзенберга - подход, основанный на алгебре ф-ций. Ф-ла задаёт Пуассона скобку в пространстве (ф-ций на С. м. В координатах Дарбу. Геом. интерпретация функции {H,F} как производной ф-ции F вдоль потока поля v_H означает, что картина Шрёдингера эквивалентна картине Гейзенберга: физ. величины (ф-ции на фазовом пространстве) меняются во времени согласно ур-нию F = {H,F}. Из этой эквивалентности вытекают осн. свойства законов сохранения: сохранение энергии ({H,H} = 0); Петер теорема - если поток поля v_F сохраняет ф-цию Гамильтона Я, то F - первый интеграл потока v_H; теорема Пуассона - скобка Пуассона {F,G} первых интегралов снова первый интеграл (это следует из тождества Якоби).

Если же в пространстве ф-ций на многообразии задана скобка Пуассона, то многообразие разбивается в объединение С. м., называемых симплектич. слоями. Это один из способов строить примеры С. м., пополняя, в частности, запас физ. моделей.

4) Статистич. механика. Поток векторного поля на С. м. сохраняет симплектич. структуру w, если и только если это поле локально гамильтоново. В частности, ого поток сохраняет фазовый объём (п - число степеней свободы). Этот факт лежит в основе статистич. механики. Эволюция фазовой плотности под действием потока поля v_H удовлетворяет ур-нию Лиувилля,. Отсюда вытекает, напр., стациопарность распределения Гиббса . В координатах Дарбу

5) Классич. подход к спину. Векторное произведение в 3-мерном евклидовом пространстве порождает скобку Пуассона ф-ций на нём. Симплектич. слои в данном примере - концентрич. сферы, снабжённые элементом площади. Вращений группа сохраняет площади и потому действует на сфере потоками гамильтоновых векторных полей. Гамильтонианы действия - линейные ф-ции в пространстве. Квантование этого действия возможно лишь на сферах целочисленной площади (в единицах h)и приводит к неприводимым представлениям группы вращений - как «векторным», так и «спинорным».

6) Принцип наименьшего действия. Двум траекториям в С. м. с общими концами сопоставим симплектич. площадь соединяющей их 2-мерной плёнки. Эта площадь по существу не зависит от плёнки (замкнутость симплектич. структуры!) и определяет поэтому функционал, называемый действием, на пространстве таких траекторий (он определён с точностью до постоянного слагаемого). Экстремали функционала действия в классе траекторий на поверхности фиксиров. уровня гамильтониана Н суть в точности траектории поля v_H (следствие косоортогональности поля v_H к уровням Н = const). Этот геом. вариационный принцип - прототип всех вариац. принципов матем. физики.

Имеется и обратная связь - пространство экстремалей вариац. задачи, как правило, несёт естественную симплектич. структуру. Последнее обстоятельство лежит в основе перехода от лагранжева формализма к гамильтонову, а также даёт ещё один способ пополнять запас примеров С. м.

7) Теория Дирака. К гамильтонову формализму со связями обычно приходят, отправляясь от лагранжиана ,вырожденного по скоростям (определитель матрицы производных лагранжиана по скоростям равен нулю). Требование непротиворечивости динамич. ур-ний означает, что подмногообразие связей F в С. м. М инволютивно: пространство l связей (ф-ций на М, нулевых на F)замкнуто относительно скобки Пуассона Поток векторного поля, отвечающего гамильтониану Н, сохраняет F, если . Все такие гамильтонианы образуют замкнутую относительно скобки Пуассона алгебру А. Физ. величины - это элементы фактор-алгебры A/J. Их можно воспринимать как ф-ции на физ. фазовом пространстве В - базе нек-рого расслоения F->B. Скобка Пуассона в A/J наделяет В симплектич. структурой. Эта конструкция используется в калибровочно инвариантных теориях (см. Калибровочная инвариантность ),где вместо проекции из l в В обычно фиксируют «калибровку», т. е. сечение расслоения в качестве физ. фазового пространства.

8) Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Если действие группы Ли G на С. м. М сохраняет симплектич. структуру, то алгебраG-инвариантных ф-ций на М замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая как алгебру ф-ций на многообразии А, получаем разбиение А на симплектич. слои, а также проекцию , сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядка симметричных гамильтоновых систем: траектории на М G-инвариантного поля v_H проектируются в траектории гамильтонова потока на слоях в Л с гамильтонианом . Таким способом возникает, напр., ур-ние Эйлера, m = [mw], описывающее эволюцию вектора момента импульса во внутр. координатах твёрдого тела при его свободном вращении. Здесь G - группа вращений, М = T*G - её кокасательное расслоение, действие G на М задаётся сдвигами на группе, а проекция совпадает с отображением момента в двойственное пространство алгебры Ли группы G. Скобка Пуассона в порождается коммутатором в. Симплектич. слои в - это орбиты коприсоединённого представления группы G. Тензор инерции тела интерпретируется как оператор и устанавливает связь вектора угл. скорости w с вектором момента и задаёт на квадратичный гамильтониан

Аналогичнаяконструкция с группой G сохраняющих объём диффеоморфизмов приводит к ур-нию вихря в теории свободного течения идеальной жидкости, где роль порождающего гамильтониан оператора инерции выполняет ротор.

Отображение момента играет фундам. роль в современной теории вполне интегрируемых систем. В частности, один из подходов к интегрированию Кортевега - де Фриса уравнения основан на его интерпретации как ур-ния Эйлера на орбите коприсоединённого представления в двойственном пространстве алгебры Вирасоро.

Лит.: Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 3 изд., М., 1989; Арнольд В. И., Гивенталь А. В., Симплектическая геометрия, в кн.: Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 4, М., 1985, с. 5; Кириллов А. А., Геометрическое квантование, там же, с. 141. А. Б. Гивенталь.

   <<      Предметный указатель      >>