сингулярные функции

СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ вквантовой теории поля - релятивистски-инвариантные ф-ции, тесно связанные с квантованием волновых полей, имеющие сингулярное поведение в окрестности светового конуса и начала координат. В первую очередь к С. ф. относятся перестановочные функции ,стоящие в правых частях коммутац. соотношений в x-представлении. Простейшей из них является перестановочная ф-ция скалярного поля т. н. ф-ция Паули - Иордана, к-рая явно выражается через ф-цию Бесселя J₁ (см. Цилиндрические функции), дельта-функцию Дирака и известные разрывные ф-ции

следующим образом:

Здесь - квадрат четырёхмерного интервала, х= (х₀, x), у = (у₀, у) - точки пространства-времени, т - масса кванта поля (используется система единиц, в к-рой). Как видно, в окрестности светового конуса D(x)имеет особенности ц

Перестановочные ф-ции полей с ненулевым спином выражаются через линейные комбинации D(x)и её производных. Напр., перестановочная ф-ция Дирака поля S(x)связана с D соотношением

где и - Дирака матрицы .Перестановочные ф-ции являются решениями соответствующих полевых ур-ний. Ф-ция Паули - Иордана удовлетворяет Клейна - Гордона уравнению (а также вытекающему из коммутац. соотношения условию антисимметрии), а ф-ция S(x)- Дирака уравнению.

Помимо перестановочных С. ф. важную роль играют Грина функции, т. е. решения соответствующих неоднородных ур-ний, в правой части к-рых стоит 4-мерная-функция. К ним принадлежат запаздывающие, опережающие, а также занимающие центр. место в квантовополевых расчётах причинные ф-ции Грина (пропагаторы ).Напр., причинная С. ф. скалярного поля D^c, определённая через вакуумное среднее от хронологического произведения операторов

удовлетворяет неоднородному ур-нию

может быть представлена в виде 4-мерного интеграла Фурье

и в явном виде высажена через ф-ции Бесселя J₁, N₁, K₁, a также . В окрестности светового конуса она имеет следующее поведение:

Причинные ф-ции полей со спином выражаются через D^c и её производные линейными соотношениями, подобными (2).

В квантовополевых расчётах приходится иметь дело с произведениями и степенями пропагаторов разл. полей. Напр., однопетлевой диаграмме поляризации вакуума в х-представлении соответствует произведение двух причинных ф-ций поля Дирака:

а в окрестности светового конуса при - произведение выражений (3) и их первых производных. С матем. точки зрения входящие в (3) сингулярные объекты представляют собой обобщённые функции.

Теория С. ф. квантовой теории поля была разработана Н. Н. Боголюбовым в нач. 1950-х гг. Она явилась основой оригинальной схемы устранения УФ-расходимостей, не использующей контрчленов и перенормировок.

Лит.: Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984, гл. 3; и х же, Квантовые поля, М., 1980. _ Д. В. Ширков.

   <<      Предметный указатель      >>