синус-гордона уравнение

СИНУС-ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ - релятивистски инвариантное ур-ние, в пространственно-временных переменных имеющее вид:

Наиболее распространённые синтетические кристаллы

Название предложено в 1960-х гг. М. Крускалом (М. Kruskal) по аналогии с линейным Клейна - Гордона уравнением (где вместо sin u стоит и). В характеристических (светоподобных) переменных ( ) С--Г. у. выглядит так:

Как в случае (А), так и в случае (В) С--Г. у. допускает представление Лакса с линейными операторами L и М ([L,M] = LM - ML), что позволяет применить к нему обратной задачи рассеяния метод.

Коши задача для С--Г. у. формулируется след. образом. Случай (А):

Случай (В):

Здесь - пространство Шварца быстроубывающих ф-ций. Задачи Коши (А) и (В) при нек-рых дополнит. ограничениях на нач. данные однозначно разрешимы в указанных классах, и множества их решений совпадают. Эволюция данных рассеяния соответствует действию L-операторов и даётся явными ф-лами, а решения u(x,t)и находятся с помощью интетральных ур-ний типа Гельфанда - Левитана- Марченко.

Гамильтонова формулировка С--Г. у. заключается в том, что, напр., в случае (А) оно представляет собой гамильтонову систему с гамильтонианом

и симплектич. формой (см. Симплектическая структура, Симплектическое многообразие)

Эта система является вполне интегрируемой, и переход от переменных u и к данным рассеяния соответствующего оператора L является канонич. преобразованием к переменным типа действие - угол. Фазовое пространство параметризуется канонически сопряжёнными переменными трёх типов:

Полная энергия Р₀ и полный импульс

поля и в новых переменных выглядят след. образом:

В случае (В) также получается вполне интегрируемая гамильтонова система.

Одно из приложений к квантовой теории поля. Пусть и(х, t) - скалярное поле с лагранжианом

(здесь - константа связи). Такой лагранжиан появляется как часть полного лагранжиана для мн. реалистич. моделей в КТП. С--Г. у. является ур-нием Эйлера - Лагранжа для этого лагранжиана. При квазиклассич. квантовании поля и осн. роль играют приведённые выше выражения для Р₀ и P₁. Первые члены в правых частях указанных ф-л отвечают частицам массой т - частицам осн. поля. Переменным второго и третьего типов соответствуют локализов. решения С--Г. у.- солитоны (в КТП) и двойные солитоны массами М и . Система обладает законом сохранения (топологический заряд:)

Частицы первого и третьего типов имеют заряд, равный 0, а у частиц второго типа заряд равен +1. Частицы с одинаковыми зарядами отталкиваются, а с разными зарядами - притягиваются. Наличие бесконечного числа законов сохранения означает, что при рассеянии сохраняются кол-ва частиц каждого типа; n-частичная матрица рассеяния (S-матрица) сводится к парным S-матрицам. С помощью интеграла по траекториям можно вычислить квантовые поправки к массам и к квазиклассической S-матрице солитонов. Одним из нетривиальных свойств указанной модели является возникновение целого спектра частиц (солитонов), в то время как лагранжиан теории содержит только одно поле. Кроме того, в приближении слабого взаимодействия (т. е. когдамало) солитоны - массивные частицы и сильно взаимодействуют.

Лит.: Фиников С. П., Изгибание на главном основании и связанные с ним геометрические задачи, М.- Л., 1937; А b 1 о w i t z М. [и др.], Method for solving the sine-gordon equation, «Phys. Rev. Lett.», 1973, v. 30, p. 1262; Т а х т а д жян Л. А., ФаддеевЛ. Д., Существенно-нелинейная одномерная модель классической теории поля, «ТМФ», 1974, т. 21, № 2, с. 160; и х ж е, Гамильтонова система, связанная с уравнением , «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1976, т. 142, с. 254; Корепин В. Е., Фаддеев Л. Д., Квантование солитонов, «ТМФ», 1975, т. 25, № 2, с. 147; Козел В. А., Котлявов В. П., Почти периодические решения уравнения, «ДАН УССР, сер. А», 1976, № 10, с. 878; Пелиновский Е. Н., Некоторые точные методы в теории нелинейных волн, «Изв. вузов. Радиофизика», 1976, т. 19, № 5-6, с. 883. Л. А. Тахтаджян.

   <<      Предметный указатель      >>