случайная величина

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА - одно из осн. понятий теории вероятностей; величина, значения к-рой зависят от случая, причём определены вероятности всех её значений. Примерами являются число выпадений решки при 10-кратном случайном бросании монеты или расстояние, на к-рое случайно движущаяся броуновская частица отошла от своего начального положения за время t.

В вероятностей теории для описания случайного явления принята след, схема: вводится подходящее «вероятностное» пространство (пространство элементарных событий) - множество всех «мыслимых» случаев - реализаций этого явления, и каждому подмножеству этих случаев (событию) приписывается неотрицательное число Р(А) - вероятность события А. Так, в случае 10 независимых бросаний монеты вероятностное пространство состоит из 2¹⁰ последовательностей, где каждое- герб или решка (исход i-гo бросания монеты), i = 1,..., 10; вероятность каждого события, состоящего из N разл. последовательностей w_k Р(А)= N*2^-10. Вероятностное пространство, описывающее броуновское движение частицы, состоит из всех мыслимых траекторий этого движения; правило, по к-рому вводятся вероятности событий Р(А)из этого пространства, довольно сложно (см., напр., [3]).

Тепепь можно более етрого определить С. в. как числовую ф-цию на вероятностном пространстве. В наиб. простом случае, когдапринимает лишь дискретное множество (конечное или счётное) значений х₁, ..., x_n набор вероятностей наз. распределением вероятностей значений С. в. (или, короче, распределением). В случае, когда принимает значения из произвольного «непрерывного» числового множества (так, что вероятность каждого отд. значения, как правило, равна нулю), распределениезадаётся с помощью т.н. функции распределения

При этом в случае дискретного множества значений

Если рассматривается одновременно неск. С. в. (напр., число всех решек в последовательности и число двух последовательных выпадений решки, три координаты x(t), y(t), z(t)броуновской частицы в момент времени t), то вводят их совместную ф-цию распределения

С. в. наз. независимыми, когда эта ф-ция распадается на произведение вероятностей отд. С. в. Ср. значение (матем. ожидание) С. в., принимающей значения из дискретного множества чисел x₁,...,x_n, определяется ф-лой

В общем случае, когда С. в. принимает «непрерывное» множество значений, полагают

где - т. н. интеграл Стилтьеса (см. [1]). ДисперсияС. в. определяется как

Осн. рабочий (неформальный) принцип теории вероятностей состоит в том, что все сведения о «статистич. свойствах» С. в. можно целиком извлечь из её ф-ции распределения (а в случае неск. С. в. - из их совместной ф-ции распределения), не обращаясь к деталям явной зависимости от случая

Лит.: 1) Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 6 изд., М., 1988; 2) Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1, пер. с англ., [3 изд.], М., 1984; 3) Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977. Р. А. Минлос.

   <<      Предметный указатель      >>