случайное поле

СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ - случайная ф-ция носк. непрерывных переменных (параметров), т. е. такая ф-ция, реализации к-рой подчиняются вероятностным законам, задающим значение ф-ции в каждой точке пространства и взаимосвязь значений в соседних точках. Число независимых переменных фиксирует размерность пространства, на к-ром задано С. п. Если одним из параметров является время t, то говорят о переменном С. п. в пространстве, размерность к-рого определяется числом остальных параметров. Напр., - переменное С. п. в трёхмерном пространстве (х, у, z), наз. также пространственно-временным С. п. Такие С. п. чаще всего встречаются в физике.

С. п. используют при вероятностном описании флуктуац. явлений в системах с распределенными параметрами, в частности при описании флуктуации плотности, темп-ры, диэлектрич. проницаемости и др. параметров разл. сред, при исследовании флуктуации эл--магн. и звуковых волн, распространяющихся в случайно-неоднородных средах, в задачах пространственно-временного приёма и обработки сигналов на фоне шумов и помех, при описании полей шумов и помех разл. происхождения, при вероятностной трактовке нек-рых результатов квантовой теории и т. д.

С. п., описываемое N ф-циями , i = 1, 2, ..., N, наз. N-мерным. Компоненты в общей случае имеют разл. физ. природу (напр., совокупность давления, плотности и трёх компонент скорости), особый интерес представляет случай, когда величины имеют одинаковую размерность и преобразуются как компоненты вектора (тензора) при преобразованиях системы координат. В этом случае говорят о векторном (тензорном) С. п.

Основные понятия. Для С. п. используют те же способы задания и статистич. описания, что и для случайных процессов, нужно только вместо одной переменной t всюду подразумевать совокупность параметров Q. В частности, на С. п. обобщаются n-точечная плотность вероятности

к-рая должна удовлетворять условиям неотрицательности, согласованности и нормировки, а также связанная с ней преобразованием Фурье n-мерная характеристическая функция

В теории С. п. используют функциональные методы, при этом вводят функционал плотности вероятности, являющийся континуальным обобщением w_n, либо характеристич. функционал

Моментные (М)и кумулянтные (К)ф-ции выражаются через характеристич. функционал при помощи функциональных (вариационных) производных:

При статистич. описании С. п. необходимо учитывать причинно-следственные связи поля на оси времени и его возможные специфич. свойства, такие, как однородность и изотропность, на разл. гиперповерхностях n-пространства.

С. п. наз. статистически однородным в узком смысле, если все его статистич. характеристики не изменяются при преобразовании трансляции . Если указанным свойством обладают только ср. значение и корреляц. ф-ция, то говорят о статистич. однородности в широком смысле. Многомерные С. п., обладающие таким свойством, наз. однородными и однородно связанными.

Понятие статистич. однородности С. п. является обобщением понятия стационарности случайного процесса. Если речь идёт о пространственно-временных С. п., то различают стационарность поля по времени и его однородность по пространств. координатам, при этом С. п. может быть статистически однородным по части координат и неоднородным - по остальным. Иногда С. п. однородны только на нек-рых поверхностях (на плоскости, на сфере и т. п.). Статистич. однородность может иметь место но пространственно-временному аргументу, напр. по аргументу r - vt в случае т. н. «замороженных» неоднородностей, движущихся как целое равномерно со скоростью v и описываемых С. п.

При статистич. описании С. п. часто ограничиваются корреляционной теорией, в к-рой используют только моменты 1-го и 2-го порядка, т. е. ср. значение

и корреляц. ф-цию

Характерный масштаб убывания корреляц. ф-ции наз. масштабом или радиусом корреляции. Напр., С. п. с гауссовой корреляц. ф-цией

имеет масштаб корреляции а вдоль оси х и радиус корреляции b в плоскости (y,z). Корреляц. теория точно описывает только поля с нормальным (гауссовым) законом распределения вероятностей.

Многомерное С. п. в рамках корреляц. теории характеризуется совокупностью ср. значений и корреляц. матрицей, в к-рой диагональные элементы представляют собой ф-ции автокорреляции, а недиагональные - ф-ции взаимной корреляции компонент

В приложениях приходится иметь дело с комплексными С. п. , полное статистич. описание к-рых не отличается от описания двумерного С. п. с компонентами. Обычно не производят разделения С. п. на вещественную и мнимую части, а оперируют непосредственно с и комплексно сопряжённым полем. При описании таких С. п. в рамках корреляц. теории приходится поэтому рассматривать две корреляц. ф-ции

через к-рые выражаются ф-ции корреляции вещественной и мнимой частей комплексного С. п.:

а также ф-ции взаимной корреляции

Для случайного эл--магн. поля с напряжённостью электрич. поля Е(r)вводят поляризационную матрицу . С её помощью вычисляются Стокса параметры ,характеризующие состояние поляризации С. п.

Простейшей мерой статистич. связи значений С. п. в разных точках Q-пространства являются коэффициенты корреляции:

Пространственно-однородные поля, у к-рых и зависят только от модуля вектора r = r₁ - r₂, т. е., наз. статистически изотропными в широком смысле. (Изотропность в узком смысле подразумевает аналогичные свойства непосредственно у плотностей вероятности.) Многомерные С. п., у к-рых указанным свойством обладают ф-ции корреляции, являются изотропными и изотропно связанными. Как и однородность, изотропность полей может иметь место лишь на нек-рых гиперповерхностях пространства независимых переменных.

Для статистически однородных (в широком смысле) С. п. справедливо обобщение Винера - Хинчина теоремы, устанавливающее взаимосвязь между корреляц. ф-цией и пространственно-временной спектральной плотностью G(w,k). Для поля, стациенарного по времени и однородного в трёхмерном пространстве, эта связь имеет вид:

Через пространственно-временную спектральную плотность G(w, k) выражаются пространственный Ф(k) и временной (частотный) g(w)спектры С. п.:

Для многомерных однородных и однородно связанных С. п. аналогичная связь имеется между элементами корреляц. матрицы и соответствующими элементами матрицы спектральной плотности Ввиду положит. определённости матрицы диагональные элементы матрицы вещественны и неотрицательны, а недиагональные элементы могут быть комплексными.

Пространственным аналогом случайного процесса со стационарными приращениями является локально одноподное С. п., для к-рого разность ср. значений и структурная ф-ция зависят только от разности r = r₁ - r₂. Если эти величины зависят только от модуля г, говорят о локально изотропном С. п. Локально однородные и локально изотропные С. п. используют, напр., при описании флуктуации параметров турбулентных сред.

В рамках корреляц. теории локально однородные С. п. можно также описывать при помощи спектральной плотности Ф(k). Из-за расходимости интеграла при корреляц. ф-ции для таких С. п. не существуют, а структурная ф-ция существует, т. к. интеграл сходится при

менее жёстких требованиях. Это следствие «нечувствительности» структурной ф-ции к флуктуациям, пространственные масштабы к-рых превышают рассматриваемое расстояние

Аналогом квазистационарных процессов являются квазиоднородные С. п., у к-рых многоточечные статистич. характеристики слабо зависят от координат центра тяжести рассматриваемых точек r₁, r₂,...,r_n по сравнению с зависимостью от взаимного расположения этих точек, т. е. от разностей r_j - r_k. Для таких С. п. вводят понятие локальной спектральной плотности, равной преобразованию Фурье пространственной корреляц. ф-ции по разностным переменным r = r₁ - r₂.

Марковские случайные поля. В физ. задачах часто рассматривают С. п., заданные при помощи стохастических уравнений, т. е. динамич. ур-ний, содержащих случайные сторонние воздействия. Вид динамич. ур-ннй определяется физ. закономерностями, а в качестве сторонних воздействий, описывающих источники случайных возмущений, часто используют С. п., дельта-коррелированные по тем или иным переменным. Исследуемое С. п. при этом является марковским по указанным переменным, что упрощает вычисление его статистич. характеристик.

Важным примером таких С. п. являются поля равновесных тепловых флуктуации в электродинамике, описываемые Максвелла уравнениями с дельта-коррелированными сторонними токами j_e(r)и i_m(r):

где - волновое число,и- комплексные тензоры диэлектрич. и магн. проницаемостей среды с компонентами, -. Элементы корреляц. матрицы векторных полей j_e и j_т зависят от электрич. и магн. проводимостей среды и и в соответствии с флуктуационно-диссипативной теоремой описываются выражениями:

где - ср. энергия квантового осциллятора с собств. частотой w при абс. темп-ре Т. к-рая в классич. областипереходит в

К С. п. такого типа приводит также т. н. марковского процесса приближение в теории распространения волн в случайно-неоднородных средах. В этом приближении волновое поле описывается параболич. ур-нием, в к-ром флуктуац. часть диэлектрич. проницаемости среды полагают дельта-коррелированной в направлении распространения падающей волны (см. Параболического уравнения приближение).

Понятие марковского С. п. тесно связано с причинностью, под к-рой понимают функциональную зависимость С. п. в данной пространственно-временной точке от предшествующих значений поля по временной или пространственной координате. В общем случае не всегда удаётся выделить в пространстве координату или совокупность координат, по к-рым исследуемое С. п. можно было бы считать марковским. Эта трудность не возникает, если речь идёт о марковских С. п. по времени. Такие С. п. используют в неравновесной термодинамике, в статистич. гидромеханике, а также в теории оптимальной пространственно-временной обработки случайных сигналов на фоне шумов и помех. Примером С. п. такого типа является поле , удовлетворяющее стохастич. ур-нию

с аддитивным сторонним воздействием , обладающим корреляц. ф-цией

Если распределение гауссово, то для функционала плотности вероятности этого С. п. справедливо обобщённое Фоккера - Планка уравнение

в к-ром вместо частных производных фигурируют функциональные производные и, кроме того, интегрирование по r проводится в пределах той области пространства D, на к-рой задано С. п.

При нач. условии это ур-ние описывает функционал плотности вероятности перехода С. п. из начального (в момент t₀) состояния в состояниев текущий момент t. Описанное ур-ние (как и вообще подобные ур-ния для функционалов плотности вероятности) имеет символич. смысл, поскольку нормировочные константы величин обычно обращаются в 0 или в. С матем. точки зрения более корректно было бы оперировать с характеристич. функционалами, свободными от этого недостатка. Однако в физ. приложениях представляют интерес такие статистич. характеристики С. п., к-рые не зависят от нормировочных констант: моментные и кумулянтные ф-ции, отношение функционалов плотности вероятности (т. н. отношение правдоподобия) и др. Для вычисления этих величин можно использовать обобщённое ур-ние Фоккера - Планка. К более сложным ур-ниям для функционала плотности вероятности полей приводит учёт негауссовых сторонних воздействий (при сохранении их дельта-коррелированности по времени), неаддитивность этих воздействий в стохастич. ур-ниях и многомерность рассматриваемого С. п.

Лит.: М о н и н А. С., Я г л о м А. М., Статистическая гидромеханика, ч. 1-2, М., 1965-67; Хохлов Р. В., Маков Ю. Н., О марковских волновых процессах, в сб.: Проблемы математической физики и вычислительной математики, М., 1977; Введение в статистическую радиофизику, ч. 2 - Рытов С. М., Кравцов Ю. А., Т а т а р с к и й В. И., Случайные поля, М., 1978; Кляцкин В. И., Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах, М., 1980; Розанов Ю. А., Марковские случайные поля, М., 1981; Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С., Введение в статистическую радиофизику и оптику, М., 1981. Ю. А. Кравцов, А. Б. Шмелёв.

   <<      Предметный указатель      >>