случайный процесс

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС - ф-ция непрерывного времени, значение к-рой в каждый момент является случайной величиной, т. е. величиной, подчиняющейся вероятностным законам. Если аргумент t изменяется дискретно, то наз. случайной последовательностью. Случайную ф-цию неск. непрерывных аргументов называют переменным случайным полем. Примерами С. п. могут служить разл. физ. процессы, сопровождающиеся случайными флуктуациями, а также мн. процессы в геофизике, радиофизике, биофизике и др.

С. п. задан, если для любых моментов времени t₁,..., t_n известны многомерные (многоточечные) плотности вероятности для совокупности случайных величинлибо соответствующие многомерные характеристические функции

Для детерминиров. процессов плотность вероятности выражается через-функцию, напр.

Исчерпывающей статистич. характеристикой С. п. является его характеристический функционал где (...) означает статистич. усреднение по всевозможным реализациям С. п. на интервале (T₁, T₂). Зная Ф[v], можно получить многомерные характеристич. ф-ции для , взяв в качестве аргумента функционала ф-цию . Коэф. разложения Ф[v] в окрестности v = 0 определяют моментные функции М_п С. п.:

а коэф. разложения - кумулянтные функции К_п:

Кумулянтные ф-ции 1-го и 2-го порядка характеризуют ср. значение и корреляционную функцию

Ф-ции M_n(t₁,...,t_n)и K_n(t₁,...,t_n)при t₁ = t₂ = ... = t_n определяют одноточечные моменты и кумулянты С. ц. , в частности со. интенсивность , дисперсию, коэф. асимметрии и эксцесса

При ограниченных сведениях о С. п. либо при невозможности его полного описания часто пользуются корреляционной теорией, рассматривающей только одноточечные и двухточечные статистич. характеристики 1-го и 2-го порядка.

Вместо характеристич. функционала иногда используют функционал плотности вероятности С. п. , к-рый является континуальным аналогом многоточечной плотности вероятности и характеризует плотность вероятности отд. реализаций С. п.. Нормировочный множитель функционала обычно обращается в О или в, но это не препятствует использованию при нахождении моментов и кумулянтов С. п., наиб. вероятных реализаций С. п. и т. п.

Перечисленные статистич. характеристики обобщают на комплексные и векторные (многомерные, многокомпонентные) С. п. . Наряду с моментами и кумулянтами, характеризующими статистич. свойства отд. компонент С. п., пользуются также смешанными моментами и кумулянтами, описывающими взаимные статистич. связи между компонентами С. п.

Нек-рые классы С. п. представляют спец. интерес для физики.

Стационарные процессы. С. п. наз. стационарным в узком смысле, если все его многоточечные вероятностные характеристики не меняются при изменении начала отсчёта времени, т. е. зависят только от разностей I; - tj. Если этим свойством обладают только ср. значение и корреляц. ф-ция, т. е. и , причём, то С. п. является стационарным в широком смысле. Для стационарных в широком смысле процессов имеет место Винера - Хинчина теорема: корреляц. ф-ция и спектральная плотность (спектр мощности) С. п. связаны друг с другом преобразованием Фурье.

Время корреляции t_с, в течение к-рого корреляц. ф-ция спадает в е раз, и ширина спектра связаны соотношением неопределённости . При величина и С. п. представляет собой белый шум.

Квазистационарные процессы. Если зависимость многоточечных статистич. характеристик С. п. от положения на оси времени является медленной по сравнению с зависимостью от разностей t_i - t_j, то такой С. п. относят к классу квазистационарных. Для него можно ввести понятие мгновенной спектральной плотности.

Периодически - нестационарные процессы. У таких С. п. статистич. характеристики периодически зависят от времени, напр. , где F(t) - периодич. детерминированная ф-ция, а - стационарный С. п.

Случайные процессы со стационарными п р и р а щ е н и я м и. Это процессы, для к-рых, как и для стационарных процессов, сохраняется понятие спектральной плотности, но коррсляц. ф-ция может и но существовать. Для статистич. описания таких С. п. пользуются не корреляционной, а структурно н функцией равной дисперсии случайных приращений процесса на интервале (t₁,t₂). Структурная ф-ция стационарного процесса связана с его корреляц. ф-цией (если последняя существует) соотношением:

Гауссовы процессы. В случае нормальных (гауссовых) процессов моментные и кумулянтные ф-ции произвольного порядка выражаются через ср. значение и корреляц. ф-цию, к-рые дают, т. о., полное описание С. п. этого класса. Значит. роль гауссовых процессов в физике определяется тем, что они реализуются практически всюду, где происходит сложение многих С. н. (центральная предельная теорема ).Однородный гауссов процесс с независимыми приращениями наз. винеровским случайным процессом, служит непрерывной моделью броуновского движения.

Марковские процессы (процессы без последействия), для них многоточечные вероятности выражаются через одномерные плотности распределения и двухточечные плотности вероятности перехода.

Кроме того, выделяют ещё импульсные процессы, диффузионные процессы, ветвящиеся процессы и др. Широкий класс С. п. составляют процессы, подчиняющиеся стохастическим уравнениям. Трудности в интерпретации эмпирич. статистич. характеристик реальных процессов связаны с выделением статистич. ансамбля, к к-рому может принадлежать ограниченный отрезок наблюдаемого процесса. При выборе статистич. ансамбля фундам. роль играет эргодическая гипотеза ,согласно к-рой моменты гипотетич. ансамбля отождествляют со средними по времени.

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 6 изд., М., 1988; Введение в статистическую радиофизику, ч. 1- Р ы т о в С. М., Случайные процессы, М., 1976; Справочник по теории вероятностей и математической статистике, 2 изд., М., 1985; Я г л о м А. М., Корреляционная теория стационарных случайных функций, Л., 1981; Розанов Ю. А., Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика, М., 1985. О. В. Тулинский, Ю. Л. Кравцов, А. Б. Шмелёв.

   <<      Предметный указатель      >>