собственное значение

СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ линейного оператора А, отвечающее собственному вектору (собственной функции) f из линейного пространства (векторного пространства) L, - комплексное либо вещественное число, такое, что

Совокупность всех собств. ф-ций, отвечающих одному и тому же С. з., образует линейное подпространство пространства L. Размерность наз. кратностью С. з. Если пространство L конечномерно, то С. з. совпадают с корнями характеристич. многочлена, det , где А - матрица линейного преобразования А в нек-ром базисе, I - единичная матрица. Если оператор А самосопряжён (эрмитов оператор), то все его С. з. вещественны. В квантовой механике вещественные С. з. самосопряжённого оператора отвечают значениям наблюдаемых (измеримых) величин. В частности, у каждой конечномерной эрмитовой -матрицы А найдутся (с учётом кратностей) ровно п С. з.

В бесконечномерном случае можно сформулировать аналог этого утверждения для самосопряжённых компактных операторов. Оператор А, действующий, напр., в пространстве l² бесконечномерных векторов f = (a₁,a₂,...) с конечной нормой

и соответствующим скалярным произведением, наз. компактным, если он переводит любую ограниченную последовательность векторов (т. е. такую, что для всех п выполнено неравенство) в последовательность , из к-рой всегда можно выбрать сходящуюея подпоследовательность. Отсюда, в частности, следует, что если выбрать последовательность ортонормированной: (х_п,х_т)= 1 при п = т и 0 при [примером такой последовательности служит х_п = (0,...,0,1,0,...)], то последовательность будет сходиться к нулю. Для таких операторов, действующих в пространстве l² или в функциональных пространствах, справедлива теорема Рисса - Ш а у д е р а, утверждающая, что система собств. ф-ций (собств. векторов) такого оператора образует базис (полную систему из ортонормированных ф-ций) в соответствующем пространстве, а его С. з.сходятся к нулю при, причём каждое С. з. является корнем конечной кратности. К классу компактных операторов относятся все ограниченные интегральные операторы с интегрируемым ядром, к-рые часто встречаются в физике, напр. в задачах с потенциалом.

Класс компактных операторов оказывается слишком узким, чтобы описать все физически интересные случаи. Он не описывает унитарные операторы (т. е. операторы, сохраняющие норму; все С. я. таких операторов представляются в виде, ), а также дифференциальные операторы, к-рые, как правило, не ограничены. Обобщением понятия С. з. для таких операторов служит понятие спектра оператора А. Число принадлежит спектру оператора, если резольвента оператора А,, будет сингулярным оператором. Все С. з. А будут принадлежать [они будут изолированными (дискретными) точками]. Однако помимо этих точек обычно содержит непрерывную часть, состоящую из таких точек, для к-рых оператор определён, но не ограничен. В обычном смысле таким не соответствует никакая собств. ф-ция, тем не менее аналог разложения по базису собств. ф-ций задаётся спектральным разложением.

Лит. см. при ст. Собственные функции. Л. О. Чехов.

   <<      Предметный указатель      >>