собственные функции

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ оператора, действующего в функциональном пространстве,- ненулевые ф-ции, переводящиеся оператором А в пропорциональные им:

Комплексное либо вещественное число наз. собственным значением оператора А. В гильбертовом пространствеф-ций иа множестве, интегрируемых с квадратом по мере, в к-ром задано скалярное произведение ф-ций

(звёздочка означает комплексное сопряжение) и вводится понятие сопряжённого оператора, особенно важную роль играют самосопряжённые линейные операторы (эрмитовы операторы, в дальнейшем линейность операторов подразумевается). Это такие операторы, для к-рых для всех х и у из (и эти скалярные произведения имеют смысл); множества всех допустимых ф-ций х и у должны совпадать; все собств. значения таких операторов вещественны. В квантовой механике с каждой наблюдаемой ассоциируется самосопряжённый оператор, С. ф. к-рого задают состояние системы с определённым значением оператора наблюдаемой. Напр., для гармонич. осциллятора оператор энергии (гамильтониан)

С. ф. к-рого являются функции Эрмита, ортогональные на . При этом k-й С. ф. соответствует собств. значение

С. ф. f₁ и f₂ самосопряжённого оператора А, отвечающие разл. собств. значениям п, ортогональны, Множество всех С. ф., отвечающих одному собств. значению, образует линейное подпространство, совпадающее с ядром оператора (I - единичный оператор), т. е. с множеством ф-ций, переводимых этим оператором в 0 (ядром оператора В наз. множество ф-ций f, для к-рых Bf = 0).

В приложениях (вариац. исчисление, классич. граничные задачи матем. физики) важную роль играют самосопряжённые интегральные операторы К:

ф-ция К(х,у) - К*(у,х)наз. ядром интегрального оператора (не путать с понятием ядра оператора, определённым выше). Если оператор К ограничен, а его ядро- интегрируемая ф-ция, то К компактен и его С. ф. образуют базис в пространстве . Ядро К(х,у)такого оператора можно разложить в (конечную либо бесконечную) сумму:

где - набор (всегда конечный при данном п) ортонормированных С. ф., отвечающих одному и тому же собств. значению, при этомпри Примером такого интегрального оператора может служить решение Дирихле задачи. Одним из критериев ограниченности является условие , т. е. ф-ция К(х,у)интегрируема с квадратом по своим аргументам.

Класс самосопряжённых операторов, действующих на всём гильбертовом пространстве ф-ций , слишком узок, чтобы охватить все физически интересные величины. Не все даже ограниченные операторы имеют разложение (*). Напр., унитарный оператор сдвига не имеет С. ф. в пространстве то же справедливо и для неограниченных операторов, к к-рым относятся практически все дифференциалъные операторы. Для таких операторов понятие С. ф. обобщается в т. н. спектральном разложении. Рассмотрим спектр оператора . Если число, то резольвента оператора А ,, сингулярна на. Все собств. значения А окажутся особыми точками [поскольку в них найдётся такая, что и обратного оператора на всём не существует]. Но помимо таких особенностей у будут и др. особые точки. в к-рых оператор определён, но неограничен. Спектральная теорема утверждает, что всякий самосопряжённый оператор А допускает спектральное разложение вида

Здесь - ортогональное семейство проекционных операторов, проектирующих на подпространство ф-ций f из таких, что. Для самосопряжённого оператора А , ядро к-рого допускает разложение (*) по С. ф., будут интегральными операторами с ядром (спектральным)

Рассмотрим спектральное разложение оператора импульса , действующего на прямой (см. Операторы] .Его С. ф.не принадлежит пространству (хотя могут быть аппроксимированы ф-циями из L² на любом конечном отрезке). Всякий оператор (Р + rI)^-1 будет неограничен для любого вещественного г; т. о., спектр

Для того чтобы построить спектральное разложение самосопряжённого оператора А, можно найти унитарное преобразование U пространства ф-ций и набор мер (N = 1, 2,...,) (наличие целого набора спектральных мер вместо одной обобщает понятие кратности собств. значения), таких, что

т. е. оператор U переводит всё пространство ф-ций в набор подпространств, внутри каждого из к-рых оператор А действует как оператор умножения:

Для оператора импульса Р таким унитарным преобразованием будет Фурье преобразование:

Тогда

а фурье-образом проекционного оператора будет оператор умножения на ф-цию ,

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 4 изд., М., 1989; Рисс Ф., Секефальви-Надь В., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; И о с и д а К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с англ., т. 1 - Функциональный анализ, М., 1977; Математическая энциклопедия, т. 5, М., 1985. Л. О. Чехов.

   <<      Предметный указатель      >>