собственный вектор

СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР оператора- ненулевой вектор из векторного пространства L, к-рый переводится данным оператором в пропорциональный ему вектор, т. е.

где вещественное либо комплексное число наз. собственным значением оператора А. С. в. операторов, действующих в функциональном пространстве, наз. собственными функциями.

Для линейного оператора А множество всех С. в., отвечающих одному и тому же собств. значению, образует линейное подпространство, к-рое наз. собств. подпространством А. Если пространство L конечномерно (n-мерно), а матрица преобразования А эрмитова, то у неё имеется ровно п различных С. в., отвечающих вещественным собств. значениям.

Наличие С. в. у операторов в бесконечномерных пространствах - явление довольно редкое, хотя для физ. приложений существенно, что операторы спец. классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширными наборами С. в. Наиб. важным для физики бесконечномерным векторным пространством является пространство l² векторов f, g вида (a₁, a₂,...), (b₁, b₂,...) со скалярным произведением (черта означает комплексное сопряжение) и соответствующей конечной нормой. Это пространство изоморфно пространству квадратично интегрируемых ф-ций и обладает всеми свойствами последнего.

В конечномерных пространствах, наоборот, у всякой n-мерной матрицы А имеется хотя бы один С. в., отвечающий, вообще говоря, комплексному собств. значению, а если к тому же матрица А невырождена, , то у такой матрицы найдутся ровно п разл. комплексных С. в. Это справедливо, в частности, для унитарных конечномерных матриц В физ. приложениях часто возникает необходимость разложить произвольный вектор в сумму по С. в. заданной эрмитовой матрицы А [напр., привести к диагональному виду симметричную квадратичную форму (хАх)]. Эта задача решается переходом с помощью унитарного преобразования к базису ,составленному из С. в. матрицы А. В этом базисе действие оператора А сводится к умножению каждого базисного вектора на соответствующее ему собств. значение. В бесконечномерном случае аналогом этой процедуры диагонализации является т. н. спектральное разложение.

Лит. см. при ст. Собственные функции. Л. О. Чехов.

   <<      Предметный указатель      >>