солитон

СОЛИТОН (от лат. solus - один) - локализованное стационарное или стационарное в среднем возмущение однородной или пространственно-периодич. нелинейной среды.

С. характеризуется следующими свойствами: локализован в конечной области; распространяется без деформации, перенося энергию, импульс, момент импульса; сохраняет свою структуру при взаимодействии с др. такими же С.; может образовывать связанные состояния, ансамбли. Профиль (форма) С. определяется в нелинейной среде двумя конкурирующими процессами: расплыванием волны из-за дисперсии среды и «опрокидыванием» нарастающего волнового фронта из-за нелинейности.

До нач. 1960-х гг. С. называли уединённую волну - волновой пакет неизменной формы, распространяющийся с пост. скоростью по поверхности тяжёлой жидкости конечной глубины и в плазме. Ныне под определение С. попадает множество разнообразных физ. объектов. Первая классификация С. может быть сделана по числу пространственных измерений, вдоль к-рых происходит локализация стационарного возмущения нелинейной среды. К одномерным С. относятся классич. уединённые волны в жидкостях, доменные стенки в ферро- и антиферромагнетиках, 2p-импульсы и солитоны огибающей в нелинейной оптике (см. Солитоны оптические), локализов. моды коллективной проводимости в молекулах органич. полупроводников и в одномерных металлах (см. Волны зарядовой плотности), С. (кванты магн. потока) в джозефсоновских контактах в сверхпроводниках (см. Джозефсона эффект)и т. д. К двумерным С. относят дислокации в кристаллич. решётке, дисклинации в жидких кристаллах, вихревые структуры в тонком слое сверхтекучей жидкости, особенно разнообразные в сверхтекучем Не³ (см. Сверхтекучесть ),магн. трубки (вихри Абрикосова) в сверхпроводниках 2-го рода (см. Сверхпроводимость ),антициклональные области в геофиз. гидродинамике, в т. ч. «Большое красное пятно» на Юпитере, каналы самофокусировки в нелинейной оптике. Трёхмерные С.- это тороидальные вихревые структуры в ферромагнетиках и толстом слое сверхтекучего Не³, солитонные модели элементарных частиц (см. Солитон в квантовой теории поля), чёрные дыры в теории гравитации. В квантовой теории поля рассматривают С., локализованные в четырёхмерном пространстве-времени,- инстантоны.

Математически С. представляют собой локализованные стационарные решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных или их обобщений (дифференциально-разностных, интегро-дифференциальных и т. п. ур-ний). Во мн. случаях разл. физ. ситуации и явления описываются одними и теми же ур-ниями, напр. Кортевега - де Фриса уравнением, синус-Гордона уравнением, Шрёдингера уравнением нелинейным, Кадомцева - Петвиашвили уравнением. Линейные ур-ния (кроме одномерного волнового ур-ния) не имеют локализованных стационарных решений. С. представляют собой существенно нелинейные объекты, поведение и свойства к-рых принципиально отличаются от поведения волновых пакетов малой амплитуды. Различие особенно сильно, если С. обладает топологическим зарядом, т. е. если конфигурация волнового поля в присутствии С. топологически отлична от конфигурации невозмущённого состояния. Значит. часть ур-ний, имеющих солитонные решения, принадлежит к классу ур-ний, в к-ром применим обратной задачи рассеяния метод ,большинство из них являются интегрируемыми гамильтоновыми системами.

Одномерные солитоны. Уединённая волна на поверхности жидкости конечной глубины впервые наблюдалась в 1834 Дж. С. Расселлом (J. S. Russell). Матем. выражение для формы этой волны было получено в 1854 Ж. В. Буссинеском (J. V. Boussinesq):

Здесь Н - невозмущённая глубина жидкости, - скорость длинных волн малой амплитуды, x₀ - положение центра С., > 0 - безразмерный параметр, характеризующий амплитуду, размер и скорость С. Ур-ние для одномерного С. было выведено в 1895 Кортевегом и де Фрисом. В холодной замагниченной плазме и в плазме без магн. поля с горячими электронами также могут распространяться уединённые волны, аналогичные С. на поверхности жидкости (Р. 3. Сагдеев, 1957). С. были использованы Р. 3. Сагдеевым при построении теории бесстолкновительных ударных волн в плазме, возникающих, напр., при обтекании Земли солнечным ветром.

Моделируя на ЭВМ поведение цепочки атомов, связанных нелинейными упругими силами и описываемых ур-ниями движения

где л - номер атома в цепочке, Э. Ферми (Е. Fermi), Дж. Паста (J. Pasta) и С. Улам (S. Ulam) в 1954 обнаружили аномально медленную стохастизацию в этой системе. Система не термализовалась (в ней не устанавливалось термодинамич. равновесие), а периодически возвращалась в исходное состояние с нач. распределением. При исследовании этой проблемы выяснилось, что в непрерывном пределе она переходит в Кортевега - де Фриса ур-ние (КдФ)

выведенное в 1895 для описания эволюции волнового пакета на поверхности жидхости малой глубины. Ур-ние КдФ является универсальным ур-нием, описывающим одномерные или квазиодномерные среды, в к-рых конкурируют слабая квадратичная нелинейность [член 6ии_х в ур-нии (3)] и слабая линейная дисперсия [член и_ххх ^в ур-нии (3)]. Оказалось, что оно описывает также и колебат. поведение цепочки атомов, а в пределе малой амплитуды и большой длины волны имеет солитонное решение:

В зависимости от соотношения указанных выше двух факторов система переходит из одного состояния в другое, а в случае их взаимной компенсации возникает С.

Из численного решения ур-ния (3) [Н. Забуски (N. Zabusky) и М. Крускал (М. Kruskal), 1964] следует, что С. обладают значит. устойчивостью и при столкновениях рассеиваются упруго, сохраняя свою форму и амплитуду. Анализируя это явление, М. Крускал, Дж. Грин (G. Green), Ч. Гарднер (С. Gardner) и Р. Миура (R. Miura) открыли в 1967 фундам. метод обратной задачи рассеяния, позволивший явно проинтегрировать ур-ние (3), к-рое можно представить как условие совместности переопределённой системы линейных ур-ний для вспомогат. ф-ции:

Ур-ние (5) представляет собой стационарное ур-ние Шрёдингера с потенциалом - u(x,t). Если потенциал удовлетворяет ур-нию КдФ (3), то дискретные собств. значения ур-ния Шрёдингера не зависят от времени и непосредственно связаны с С. Если ур-ние (5) имеет N дискретных собств. значений , то при будут присутствовать N С. вида (4) с параметрами. В общем случае в решении содержится также осциллирующая «несолитонная часть». Решение ур-ния (5), определённое методом обратной задачи рассеяния, имеет вид:

В чисто солитонном случае

N-солитонное решение описывает рассеяние N С. друг на друге. Это рассеяние происходит упруго с сохранением амплитуд , сдвигаются лишь асимптотич. координаты С. При парном столкновении С. с амплитудами С. приобретают сдвиги

т. е. быстрый С. приобретает положительный, а медленный - отрицательный сдвиги. При взаимодействии N С. полный сдвиг каждого С. равен алгебраич. сумме сдвигов от парных соударений, т. е. отсутствуют многосолитонные взаимодействия. Столкновения С., описываемых ур-ниями КдФ, можно наглядно представлять как взаимодействие нерелятивистских частиц, между к-рыми действуют парные силы отталкивания. Напр., для двух С. (4) с одинаковыми амплитудами, разделённых расстоянием L, много большим характерного размера С. , потенциал силы отталкивания

Типичная картина возникновения С. в океане, сфотографированная из космоса, изображена на рис.: чётко видны пять полос (солитонов), перемещающихся снизу справа вверх налево.

Шрёдингера нелинейное ур-ние для комплексной ф-ции u(x,t)

является одним из осн. ур-ний нелинейной физики, описывающим эволюцию оптич. волн в нелинейных кристаллах, ленгмюровских волн в плазме, тепловых волн в твёрдых телах и др. При распространении одномерных квазигармонич. волн в слабонелинейных средах и результате кубичной нелинейности (член и_хх)и линейной дисперсии (член ) происходит самомодуляция - возникают волны огибающей. В случае равновесия нелинейного самосжатия и дисперсионного расплывания появляются С. огибающей. В случае знака «+» в ур-нии (7) С. огибающей имеет вид:

Здесь и v - амплитуда и скорость С. [в отличие от С. (4), эти параметры являются взаимно независимыми], Ф₀ и х₀ описывают фазу и положение С. в нач. момент.

В. Е. Захаров и А. Б. Шабат показали (1971), что ур-ние (7) также является точно интегрируемым в рамках метода обратной задачи рассеяния с помощью вспомогат. переопределённой системы линейных ур-ний типа (5), (6) для многокомпонентной (векторной) ф-ции . Следствием точной интегрируемости является наличие точных многосолитонных решений. Как и в случае ур-ния КдФ, эти решения описывают чисто упругие столкновения С. с сохранением формы, амплитуды и скорости. Единств. следствием столкновения являются фазовые сдвиги - изменения параметров Ф₀ и х₀.

Одномерное ур-ние синус-Гордона. Точно интегрируемым с помощью вспомогат. линейных ур-ний типа (5), (6) для векторной ф-ции y является также синус-Гордона ур-ние

Это ур-ние встречается во мн. физ. задачах, в к-рых ангармонич. потенциал нелинейного самовоздействия волнового поля периодичен по полевой переменной Ф(х,t). Примерами являются длинные волны в джозефсоновских переходах, волны зарядовой плотности в одномерных металлах, нелинейные волны намагниченности в легко плоскостных и слабых ферромагнетиках и т. д.

Ур-ние (9) имеет солитонные решения двух разл. типов: т. н. кинки и бризеры. К и н к

представляет собой уединённую волну, обладающую топологич. зарядом , движущуюся со скоростью v (v² < 1). Кинк имеет смысл т. н. флаксона - кванта магн. потока в теории длинных джозефсоновских переходов, доменной стенки - в ферромагнетиках, носителя заряда - в одномерных металлах и т. д. Точные решения ур-ния (9) описывают чисто упругие столкновения любого числа кинков (10), сопровождающиеся фазовыми сдвигами, т. е. изменением параметров x₀, характеризующих положение кинков в нач. момент. В частности, при столкновении двух кинков со скоростями v₁, v₂ (v₁ > v₂)фазовые сдвиги равны:

Видно, что фазовые сдвиги не зависят от топологич. зарядов кинков.

Как и для С., описываемых ур-ниями (3) и (7), полный фазовый сдвиг любого кинка при рассеянии на совокупности остальных кинков в точности равен сумме сдвигов, порождённых его столкновениями с каждым из остальных кинков по отдельности.

Наглядно два кинка, разделённых расстоянием L, много большим их характерных размеров ~ (1 - v²)^-1/2, можно представлять как две релятивистские частицы, взаимодействующие с потенциалом

Т. о., кинки с одинаковыми зарядами отталкиваются, с противоположными - притягиваются.

Пара кинков с противоположным зарядом может образовать связанное осциллирующее состояние - т. н. б р и з е р, представляющий собой 2-й тип точного солитонного решения ур-ния (9):

[движущийся бризер может быть получен из (11) преобразованием Лоренца]. Параметр, изменяющийся в пределах , характеризует энергию связи бризера, определённую разность энергий пары удалённых покоящихся (v = 0) кинков (10) и энергии бризера (11): . Столкновения бризеров друг с другом и с кинками также являются чисто упругими и сопровождаются аддитивными фазовыми сдвигами. В реальных системах бризер не наблюдается вследствие диссипации.

В пределе Ф² 1 подстановка

преобразует ур-ние (9) в нелинейное ур-ние Шрёдингера (7) (с верх. знаком). При этом бризер (11) (при ) преобразуется в покоящийся С. (8) с амплитудой

Многомерные солитоны. Двумерный С. является решением точно интегрируемого ур-ния Кадомцева - Петвиашвили

описывающего ионно-звуковые волны в плазме, капиллярные волны на поверхности «мелкой» жидкости и т. д. Точное решение ур-ния (12)

содержащее произвольный комплексный параметр v, описывает устойчивый двумерный С. (т. н. л а м п), движущийся со скоростью и = (v_x,Vy), , . При решение. (13) убывает как (х² + y²)^-1, т. е., в отличие от одномерных С. (4), (8), (10), (11), характеризующихся экспоненциальным спадом профиля при, двумерный С. (13) имеет степенную асимптотику. Столкновения любого числа лампов (13) являются чисто упругими, причём, в отличие от одномерных С., фазовые сдвиги тождественно равны нулю.

Понятие С. можно обобщить и на случай неинтегрируемых нелинейных волновых ур-ний. Сюда можно отнести почти интегрируемые с и с т е м ы, отличающиеся от универсальных интегрируемых ур-ний малыми возмущающими членами, что имеет место в реальных физ. системах. Теория возмущений для почти интегрируемых систем также основана на методе обратной задачи рассеяния [Д. Кауп (D. Каир), 1976; В. И. Карпман и Е. М. Маслов, 1977]. В почти интегрируемых системах динамика С. более богата; в частности, малые возмущения могут порождать неупругие взаимодействия С. и многосолитонные эффекты, отсутствующие в точно интегрируемом случае.

В системах, далёких от точно интегрируемых, взаимодействия С. оказываются глубоко неупругими. Так, неинтегрируемое релятивистски инвариантное волновое ур-ние

описывающее, напр., динамику параметра порядка при фазовых переходах типа смещения в сегнетоэлектриках, имеет точное устойчивое решение типа кинка:

Численное исследование показывает, что столкновение двух кинков (14) с разл. топологич. зарядом может приводить к аннигиляции этих С. в квазилинейные волны (излучение).

Примером С. в неинтегрируемой трёхмерной системе является т. н. с к и р м и о н - солитон Скирма модели, хорошо описывающей низкоэнергетич. динамику нуклонов.

Нелинейное ур-ние Шрёдингера более общего вида, чем (7),

где - Лапласа оператор ,действующий в пространстве произвольной размерности D, а н - произвольное положит, число, также может иметь солитонное решение (это ур-ние интегрируемо лишь в случае п = 1, D = 1). Такой С. может быть устойчив лишь при nD < 2; в обратном случае он оказывается неустойчивым относительно волнового коллапса (см. Солитон в плазме).

Лит.: Ребби К., Солитоны, пер. с англ., «УФН», 1980, т. 130, в. 2, с. 329; Теория солитонов. Метод обратной задачи, М., 1980; Солитоны в действии, под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта, пер. с англ., М., 1981; Л э м Д ж. Л., Введение в теорию солитонов, пер. с англ., М., 1983; Солитоны, под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри, пер. с англ., М., 1983; Косевич А. М., Иванов Б. А., Ковалев А. С., Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны, К., 1983; Давыдов А. С., Солитоны в молекулярных системах, К., 1984; Калоджеро Ф., Дегасперис А., Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений, пер. с англ., М., 1985; Раджараман Р., Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1985; Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д., Гамильтонов подход в теории солитонов, М., 1986; Абдуллаев Ф. X., Хабибуллаев П. К., Динамика солитонов в неоднородных конденсированных средах, Таш., 1986; Филиппов А. Т., Многоликий солитон, М., 1986; Абловиц М. Д ж., С и г у р X., Солитоны и метод обратной задачи, пер. с англ., М., 1987; Solitons, ed. by S. E. Trullinger, V. E. Zakharov, V. L. Pokrovsky, Amst., 1986; К i v s h a r Y u. S., M a 1 о m e d B. A., Dynamics of solitons in nearly integrale systems, «Rev. Mod. Phys.», 1989, v. 61, р. 763, В. Е. Захаров, Б. А. Маломед,