спектр оператора

СПЕКТР ОПЕРАТОРА - обобщение на бесконечномерный случай понятия множества собственных значений матрицы линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве.

Если М - такая n X n-матрица, то её собств. значения - это комплексные числа, для к-рых ур-пие имеет ненулевые решения (собственные векторы матрицы М). Для существования таких решений необходимо и достаточно, чтобы 0, где I - единичная п X п -матрица. Множество собств. значений (спектр М)содержит не более п точек, т. к. - полином степени и и имеет не более п различных корней. Сама матрица М удовлетворяет ур-нию Гамильтона - Кэли, а по теореме Виета (для простоты принято, что все различны). Если положить , то оператор является проектором на собств. подпространство, принадлежащее: для любого вектора х вектор P_i(x)- собственный и принадлежит

При этом матрица М имеет спектральное разложение [1]:

Для эрмитовых М проекторы также эрмитовы, вещественны, а собств. подпространства ортогональны друг другу. При матрица имеет обратную. Вообще, в конечномерном случае есть две возможности: либо (I) - регулярная точка и резольвента существует как оператор на всём векторном пространстве, либо (II) - точка спектра и резольвента не существует.

В бесконечномерном случае речь идёт об операторах А, действующих в нормированном линейном пространстве (банаховом пространстве), и появляется третья возможность: (III) ур-ние имеет лишь нулевые решения в, но резольвента не определена на всём. Объединяя вторую (т о ч е ч н ы й, или дискретный, спектр) и третью (непрерывный и остаточный спектры) возможности, С. о. называют множество таких, для к-рых резольвента не является ограниченным оператором на всём. При этом принадлежит непрерывному спектру, если область значений оператора плотна в, и остаточному - в противном случае. У ограниченных самосопряжённых операторов остаточный спектр отсутствует.

В квантовой механике наблюдаемым отвечают самосопряжённые операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Сведения об их спектре имеют непосредственный физ. смысл. Так, точечный спектр оператора Гамильтона - это уровни энергии связанных состояний, а непрерывному спектру отвечают состояния, фигурирующие в теории рассеяния. В соответствии с идеей П. Дирака [2] в квантовой механике оперируют с формальными решениями ур-ния , отвечающими непрерывному спектру; такие решения не принадлежат. Напр., для системы с одной степенью свободы, координата к-рой может принимать значения на всей оси, , в координатном представлении реализуется как пространство квадратично интегрируемых ф-ций на. Оператор импульса имеет непрерывный спектр, совпадающий с. Решениями ур-ния являются плоские волны; поскольку в пространстве их норма расходится, они не принадлежат и наз. обобщёнными собственными векторами. Комбинация является аналогом проектора на обобщённый собств. вектор , а спектральное разложение

аналогом разложения (*) для случая непрерывного спектра: для любого вектора из имеем:

Эта конструкция служит только моделью математически строгого определения спектрального разложения операторов с непрерывным спектром ([3], [4]). В большинстве квантовомеханич. задач дискретный и непрерывный участки спектра не пересекаются, а случаи, когда точки дискретного спектра погружены в непрерывный, считаются экзотическими. Простейший пример такой ситуации - осциллирующий и медленно убывающий с расстоянием потенциал (т. н. потенциал Вигнера - фон Неймана).

Лит.: 1) X а л м о ш П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., М., 1963; 2) Д и р а к П. А. М., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; 3) Р и д М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т. 1, Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1977; 4) ф о н Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., М., 1964. В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>