спектральное представление

СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ матричных элементов матрицы рассеяния S или Грина функций в квантовой теории поля - интегральные представления типа Коши интеграла .С. п. играют большую роль в аксломатрич. подходе к квантовой теории поля (см. Аксиоматическая квантовая теория поля ),в рамках к-рого построение матрицы рассеяния осуществляется без конкретных предположений о взаимодействии, присущих гамильтонову формализму. Особенно важны С. п., к-рые удаётся получить на основе только самых общих положений квантовой теории поля, таких, как требования микропричинности, унитарности (см. Унитарности условие ),релятивистской инвариантности и предположения о спектре масс. Так, напр., для ф-ции Грина G(x - у)из ур-ния скалярного поля массы т

(Т - символ хронологич. упорядочения, р - 4-импульс поля) на этой основе установлено важное С. п. Лемана - Келлена (Н. Lehmann, G. Kallen):

Здесь I(z) - неотрицат. ф-ция, описывающая распределение масс возможных состояний поля,- спектральная плотность масс, к-рая выражается через матричные элементы S-матрицы.

В общем случае вся информация о взаимодействии частиц содержится в матричных элементах S-матрицы, относящихся к переходу из состояния i невзаимодействующих начальных частиц в состояние f невзаимодействующих конечных частиц с 4-импульсами р₁, ...,p_i, и. Приняв во внимание закон сохранения 4-импульса (и др. следствия релятивистской инвариантности), такой матричный элемент можно записать в виде:

где амплитуда перехода - скалярная ф-ция 4-импульсов р, и поляризаций начальных и конечных частиц. Зависимость Т_fi отполяризаций можно полностью выделить, представив Т'_fi как сумму членов вида: , причём - определённые матричные элементы лоренц-инвариантных комбинаций, составленных из спиновых операторов. С. п. строятся для скалярных ф-ций М_fi, называемых инвариантными амплитудами перехода. Зависимость от своих аргументов носит динамич. характер, и её существенные черты отражаются в аналитич. свойствах. В частном случае, когда и в начальном, и в конечном состоянии имеется по одной частице,

связана с ф-цией Грина в (2) соотношениями

Ряд существенных сведений об аналитич. структуре М_fi может быть получен из общих положений квантовой теории поля, не зависящих от конкретной модели взаимодействия.

Прежде всего, использование микропричинности и нек-рых предположений о свойствах спектра масс приводит к утверждению, что всякая инвариантная амплитуда является нек-рым граничным значением аналитич. ф-ции, зависящей только от лоренц-инвариантных комбинаций 4-импульсов р_k. Это граничное значение получается, когда квадрат полной энергии

стремится к действит. оси сверху из области аналитичности, где он комплексен и имеет положительную мнимую часть: . Инвариантные амплитуды обладают, кроме того, свойством перекрёстной симметрии. Оно состоит в том, что амплитуды разл. каналов процесса взаимодействия (i + f) частиц, т. е. амплитуды, описывающие переходы с разл. распределением данных (i + f) частиц на начальные и конечные, являются различными граничными значениями одной общей аналитич. ф-ции F. Амплитуда каждого канала получается из F, когда один из аргументов F - квадрат полной энергии в данном канале, устремлён к действит. оси сверху, а остальные аргументы принимают значения в физ. области канала.

Условие унитарности S-матрицы позволяет установить, где ImF заведомо отлична от нуля. В каждом канале инвариантная амплитуда как ф-ция имеет полюсы, соответствующие возможным одночастичным состояниям, и («физический») разрез, соответствующий многочастичным состояниям в этом канале. Характеристики этих особенностей - вычеты в полюсах и скачки на физ. разрезах - могут быть определены через матричные элементы S-матрицы с помощью той же унитарности. Напр., т. н. абсорбционная часть амплитуды (т. е. скачок амплитуды на физ. разрезе) равна

где в правой части проводится суммирование по всем возможным промежуточным состояниям (п)и интегрирование но фазовому объёму в пространстве импульсов каждого состояния ( - элемент фазового объёма). Если иных особенностей, кроме требуемых унитарностью, у M_fi нет, интеграл Коши в комплексной плоскости представляет собой С. п. для Такая простая структура особенностей и составляет отличие С. п. от более общих дисперсионных соотношений. Как показывают результаты исследований амплитуды переходов с , в частности примеры из теории возмущений, дисперсионные соотношения для амплитуд этих переходов могут иметь т. н. аномальные разрезы, скачки на к-рых не определяются по условию унитарности. Так, для амплитуды упругого рассеяния M₂₂ на основе общих положений теории удалось доказать лишь С. п. по квадрату полной энергии s при существенных ограничениях на остальные аргументы М₂₂, квадраты масс частиц и инвариантную передачу импульса t. Однако ввиду их ясного физ. смысла С. Манделстам (S. Mandelstam) предложил принять без доказательства двойные С. п. по s и t для М₂₂ хотя бы как основу простой теоретич. модели процесса взаимодействия. Если для описания перехода частиц 1, 2 в частицы 3,4 ввести инвариантные переменные

причём s, t, и связаны соотношением

и являются квадратами полной энергии в каналах, где в качестве начальных выступают соответственно частицы 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, то т. н. двойное С, п. Манделстама приобретает вид:

Интегрирование здесь ведётся от физ. порогов - квадрата суммы масс низшего промежуточного состояния в соответствующих каналах. Такое С. п. обнаруживает перекрёстную симметрию в самом виде записи. Для описания амплитуд всех трёх каналов применяется одна ф-ция F(s, t, и), в частности одни и те же определяющие её спектральные плотности. Переход, напр., от амплитуды s-канала к амплитуде t-канала осуществляется заменой s на г, a t на s. Это соответствует тому, что частица 2 заменена на античастицу 3, а частица 3 на античастицу 2 в самом процессе. С. п. Манделстама послужило основой мн. исследований процессов сильных взаимодействий.

Лит.: Новый метод в теории сильных взаимодействий. Сб. статей, пер. с англ., под ред. А. М. Бродского, М., 1960; Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, М., 1958; Бартон Г., Дисперсионные методы в теории поля, пер. с англ., М., 1968. В. П. Павлов.

   <<      Предметный указатель      >>