специальные функции

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ - отдельные классы функций, возникающих во многих теоретич. и прикладных задачах, обычно при решении дифференц. ур-ний. В физике чаще всего встречаются гамма-функция (см. Эйлера интегралы), ортогональные полиномы, сферические функции, цилиндрические функции, гипергеометрические функции и вырожденные гипергеометрические функции, параболического цилиндра функции, интегральные синус и косинус, интеграл вероятности (см. Интегральные функции), Матьё функции, эллиптические функции и др. Все перечисленные ф-ции, за исключением гамма-функции, ф-ций Матьё и эллиптич. ф-ций, являются решениями обыкновенного дифференц. ур-ния 2-го порядка:

где - полиномы, степень к-рых не выше 2, - полином, степень к-рого не выше 1, z - комплексная переменная.

Напр., ур-ние Бесселя

является частным случаем ур-ния (1) при, ,. С помощью замены и = и выбора ф-ции ур-ние (1) можно привести к виду:

[ - полином, степень к-pогo не выше 1,- постоянная]. При

ур-ние (2) имеет полиномиальные решения, определяемые ф - л о й Р о д р и г а:

[В_п - нормировочная постоянная, п - степень полинома, ф-ция удовлетворяет ур-нию], к-рые после линейной замены переменной переходят в классич. ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита).

Ур-ние (2) в зависимости от степени полинома можно привести к следующим канонич. видам:

(гипергеометрическое уравнение Гаусса),

(вырожденное гипергеометрическое уравнение),

(уравнение Эрмита).

Обобщая ф-лу Родрига (4), можно получить в явном виде частные решения ур-ния (2) при произвольных в виде интегрального представления

где величина v связана с соотношением, аналогичным соотношению (3):

ф-ция - решение ур-ния

контур С - отрезок прямой (s₁, s₂), на концах к-рого выполнено условие:

Контуры такого вида можно выбрать лишь при нек-рых ограничениях, наложенных на коэф. ур-ния (2). Распространение результатов, полученных при таких ограничениях, на более общие случаи можно получить с помощью аналитич. продолжения решений. Из интегрального представления (5) легко вывести все свойства перечисленных С. ф.: разложения в степенные ряды, разл. функциональные соотношения, асимптотич. разложения и др.

При помощи аналогичных рассуждений можно построить теорию разностных аналогов С. ф., в частности классич. ортогональных полиномов дискретной переменной на равномерных и неравномерных сетках.

С. ф. возникают обычно при разделении переменных и отыскании собств. ф-ций дифференц. операторов в нек-рых системах координат. Такие операторы часто инвариантны относительно к--л. группы преобразований, к-рые переводят собств. ф-ции оператора в собств. ф-ции, отвечающие тому же собств. значению. Т. о., каждому элементу группы ставится в соответствие линейное преобразование в пространстве собств. ф-ций, наз. представлением группы. Поэтому существует связь между С. ф. и матричными элементами представлений групп. Используя свойства представлений, можно получить разд. ф-лы для С. ф., напр. ф-лы сложения, интегральные представления, рекуррентные ф-лы.

Так, представления группы движения евклидовой плоскости связаны с цилиндрич. ф-циями, представления группы вещественных унимодулярных матриц 2-го порядка - с гипергеом. ф-циями. Особенно часто в физике используют представления группы вращений трёхмерного пространства, с ними связаны Вигнера функции, Клебша - Гордана коэффициенты, и Вигнера 6j-символы, к-рые можно выразить через ортогональные полиномы непрерывного или дискретного аргумента. Напр., ф-ции Вигнера удаётся записать с помощью полиномов Якоби или полиномов Кравчука. Коэф. Клебша-Гордана и 6j-символы Вигнера можно выразить через полиномы Хана и полиномы Рака.

Лит.: Б е и т м е н Г., Э р д е й и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1973-74; Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория представлений групп, 2 изд., М., 1991; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984; Справочник по специальным функциям, пер. с англ., М., 1979. А. Ф. Никифоров.

   <<      Предметный указатель      >>