спинор

СПИНОР (от англ. spin - вращаться) - элемент пространства спинорного представления группы вращений. Вращений группа SO(n)при п 3 двусвязна. Её односвязная накрывающая называется спинорной группой Spin(n). Каждое линейное представление SO(n)порождает представление Spin(n); однако часть линейных представлений Spin (п)порождается двузначными (проективными с мультипликатором ±1) представлениями SO(n) -её спинорными представлениями. Простейшее спинорное представление имеет размерность (где [...] - символ целой части числа) и реализуется в Клиффорда алгебре К_п степени . Оно неприводимо для нечётных п и разлагается в сумму двух неэквивалентных представлений одинаковой размерности для чётных п.

Существуют два типа С.: С., связанные с группой SO(n) - группой вращений n-мерного евклидова пространства, и С., связанные с группой SO(p, q) (p + g = п) - группой «вращений» псевдоевклидова пространства , сохраняющих квадратичную форму:

В физике наиб. употребительны С. в пространстве R³ [С. группы SO(3)] (нерелятивистская квантовая механика) и в пространстве Минковского (С. собственной Лоренца группы в релятивистской теории).

Спинор в R³. Простейшее спинорное представление (спинорное представление ранга 1) двумерно [т. к. Spin (1) ~ SU (2)]. С. ранга 1 характеризуется парой (комплексных) чисел . При повороте на угол вокруг оси с направляющим единичным вектором n = (n_l, n₂, n₃) С. ранга 1 преобразуется по ф-ле

с помощью матрицы

где , - Паули матрицы .При повороте на угол С. переходит в -, что свидетельствует о неопределённости знака С., т. е. о двузначности представления. Выражение (2) задаёт представление SO(3), как следует из коммутац. соотношений для матриц Паули. В этом представлении матрица является генератором поворота вокруг оси j. Преобразование (1) сохраняет билинейную форму , определённую на двумерных векторах (контравариантных). Это позволяет ввести в линейном пространстве таких векторов кососимметрическую «метрику»

и ковариантные С. , преобразующиеся с помощью эрмитово сопряжённой матрицы. Тогда билинейная форма естественно интерпретируется как скалярное произведение:

(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование).

В качестве базиса в пространстве С. ранга 1 можно выбрать собств. векторы

матриц и, допускающих естеств. интерпретацию квадрата вектора епина и его z-проекции; собств. значениями будут ³/₄ = ¹/₂(1 + ¹/₂) и¹/₂ соответственно. Поэтому С. ранга 1 описывают частицы со спином ¹/₂.

С. старших рангов строятся по аналогии с теорией тензоров .Контравариантным спинором ранга r наз. набор У (комплексных) чисел , преобразующихся по закону:

где- элементы матрицы . В алгебре С. можно ввести операции, аналогичные операциям в тензорной алгебре: поднятие и опускание индексов, свёртка и т. д. С. ранга г наз. симметрическим, если его компоненты не меняются при любой перестановке индексов. В пространстве симметрических С. реализуются все неприводимые представления группы вращений веса l, 2l = r.

Спинор в М⁴. Два простейших неприводимых (полу-спинорных) представления SO(3, 1) двумерны и обозначаются столбцами и соответственно с непунктирными и с пунктирными индексами. При пространственных поворотах преобразуются (как и С. в R³) с помощью матрицы (2), а при специальных Лоренца преобразованиях - гиперболич. поворотах на угол в плоскости (x₀, п) - с помощью матрицы h:

Пунктирные С.,, преобразуются с помощью комплексно сопряжённых матриц g* и h* соответственно. Кососимметрическая матрица позволяет определить компоненты пунктирных С. При пространственной инверсии пунктирный и непунктирный С. переходят друг в друга: ,

Включение инверсий означает переход от собств. группы Лоренца SO(3, 1) к группе Лоренца О (3, 1). Поэтому простейшее спинорное представление O(3, 1) четырёхмерно и образовано биспинором ( - знак тензорного произведения), обычно записываемым в виде столбца:

Инвариантные и ковариантные билинейные формы в пространстве биспиноров строятся с помощью Дирака матриц, , и определения дираковского сопряжения («+» означает эрмитово сопряжение). Так, формы- есть соответственно скаляр, псевдоскаляр и 4-вектор относительно преобразований из 0(3, 1).

Помимо дираковского вводят майорановское сопряжение (Т - означает транспонирование), где С - матрица зарядового сопряжения. Майорановским С. наз. С., для к-рого пропорционален y_д (множитель пропорциональности зависит от представления матриц Дирака); в частности, в майо-рановском представлении (где и вещественны) компоненты майорановского C. вещественны.

Вейлевским С. наз. С., удовлетворяющий соотношению или -, где I - единичная матрица (соответственно правый и левый С.). Число его компонент также вдвое меньше обычного; он используется в теориях с киральной симметрией.

В пространстве биспиноров можно задать линейное релятивистски инвариантное ур-ние, описывающее частицы со спином ¹/₂ (спинорные частицы), с ненулевой массой - Дирака уравнение ,с нулевой массой - Вейля уравнение.

С., связанные с многомерными пространствами, находят применение в теории тяготения, Калуцы - Клейна теории, теории суперструн и т. д. Многообещающие применения теории С. связаны с теорией твисторов.

Спинорные многообразия. Глобально спинорное поле можно задать не на любом многомерном пространстве. Существование таких пространств (спинорных многообразий, см. Расслоение)определяется топологич. инвариантами.

Первые упоминания двузначной природы группы вращений восходят к Л. Эйлеру (L. Euler) (параметризации группы вращений углами Эйлера). В работах О. Родригеса (О. Rodrigues), У. Гамильтона (W. Hamilton), А. Кэли (A. Cayley), У. Клиффорда (W. Clifford) и др. были получены важные результаты, нашедшие естеств. продолжение в рамках теории С. Построение спинорных представлений в инфинитезимальной форме проведено Э. Картаном (Е. Cartan, 1913). Дальнейшее развитие теории С. инициировалось открытием спина электрона (1925) и появлением ур-ний П. Дирака (P. Dirac) и Г. Вейля (H. Weyl). Спинорное исчисление было построено в работах Б. Ван-дер-Вардена (В. van der Waerden) и др. Термин «С.» предложен П. Эренфестом (P. Ehrenfest, 1929).

Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Квантовая механика, 4 изд., М., 1989; Г е л ь ф а н д И. М., М и н л о с Р. А., Шапиро 3. Я., Представления группы вращении и группы Лоренца и их применения, М., 1958; Ван дер Варден Б., Принцип запрета и спин, в кн.: Теоретическая физика 20 века, М., 1962; Берестецкий В. Б., Л и ф ш и ц Е. М., Питаевский Л. П., Релятивистская квантовая теория, ч. 1, М., 1968; Дирак П., Спиноры в гильбертовом пространстве, пер. с англ., М., 1978; Пенроуз Р., Риндлер В., Спиноры и пространство-время, пер. с англ., [т. 1], М., 1987; [т. 2] - Спиноры и пространство-время. Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени, пер. с англ., М., 1988; Budinich P., Trautman A., The spinorial chessboard. Springer, N. Y., 1988. М. И. Монастырский.

   <<      Предметный указатель      >>