статистика фотоотсчетов

СТАТИСТИКА ФОТООТСЧЕТОВ - вероятностное описание потока событий (отсчётов), происходящих в счётчике фотонов (фотодетекторе) под действием падающих на него световых квантов. Метод счёта фотонов используется при регистрации слабых световых потоков, когда фотодетектор успевает завершить предыдущий отсчёт к приходу последующего фотоотсчёта. Регистрация последовательностей фотоотсчётов и их статистич. обработка предпринимаются для установления свойств света того или иного источника, а также свойств среды, воздействующей на проходящий через неё свет. В качестве счётчиков фотонов используют фотоэлектронные умножители и лавинные фотодиоды (чувствительные в видимом, УФ- и ближнем ИК-диапазонах спектра эл--магн. излучения), фотоэлектронные умножители со сцинтилляторами (в УФ- и рентг. диапазонах); в более длинноволновом диапазоне могут использоваться атомные пучки. Выходные электрич. импульсы в таких фотодетекторах, являющиеся откликом на фотон, имеют конечную длительность. Однако при анализе фотоотсчёты считают точечными событиями, т. е. происходящими мгновенно, привязывая момент отсчёта, напр., к максимуму импульса. Такая идеализация позволяет рассматривать фотоотсчёты как поток точечных событий. Существенно вероятностный характер взаимодействия фотонов с атомами фоточувствит. площадки фотодетектора приводит к тому, что момент отсчёта не детерминирован, и в результате поток фотоотсчётов имеет случайный характер.

Поток фотоотсчётов характеризуется следующими параметрами: числом отсчётов в заданном интервале времени; временным интервалом между соседними отсчётами; временем появления первого отсчёта после заданного момента времени; частотой совпадений отсчётов разных счётчиков, находящихся в одном потоке фотонов, и т. д. Многократные измерения этих характеристик с последующей статистич. обработкой позволяют установить такие свойства регистрируемого излучения, как распределения числа фотонов и интенсивности, корреляц. свойства и степень когерентности, временной ход интенсивности, а также нек-рые другие.

Наиб. распространение получили измерения распределения числа отсчётов в заданном интервале времени от t до t + Т: P_m(t,T) - вероятность регистрации т отсчётов в интервале времени Т. Связь распределения P_m(t,T)с характеристиками света основывается на соотношениях квантовой оптики. Однако в классич. пределе, когда поток фотонов, выраженный их числом в объёме когерентности (см. Когерентность света), велик и излучение можно характеризовать классической (не операторной) величиной интенсивности I(t,x,y)[Вт/см²] (где х и у - координаты фоточувствит. площадки счётчика), связь P_m(t,T)с характеристиками света устанавливается из простых соображений о независимости отсчётов друг от друга [4]. В этом случае распределение P_m(t,T)определяется полной энергией излучения Q, упавшей на счётчик за время регистрации Т, п квантовой эффективностью счётчика:

Энергия фотона, входящая в (1), не придаёт квантового характера этому соотношению, т. к. она появилась в (1) из определения квантовой эффективности счётчика: есть вероятность отсчёта при падении на счётчик одного фотона, . Если излучение освещает фоточувствит. площадку S счётчика равномерно и с пост. интенсивностью I, то распределение числа фотоотсчётов не зависит от времени t и является пуассоновским:

Величина определяет ср. число фотоотсчётов и все высшие факториальные моменты распределения Р_т(Т):

В частности, дисперсия пуассоновского распределения совпадает со ср. значением:

а относит. среднеквадратичное отклонение числа отсчетов обратно пропорционально квадратному корню из среднего:

Т. о., С. ф. детектора, равномерно освещаемого светом пост. интенсивности, совпадает со статистикой дробового шума.

Если интенсивность излучения флуктуирует во времени и пространстве (т. е. сама является случайным процессом), выражение для распределения фотоотсчётов включает в себя усреднение по этим флуктуациям с помощью распределения энергии излучения P(Q):

Факториальные моменты распределения (3) определяются моментами распределения P(Q):

и дисперсия числа отсчётов в этом случае больше ср. значения, т. е. распределение P_m(t,T)суперпуассоновское. Отличие распределения (3) от пуассоновского содержит информацию о характере распределения энергии света P(Q)и поэтому представляет практич. ценность. наиб. информативности достигают, когда приёмная площадка счётчика меньше площади когерентности излучения, а время измерения Т не превосходит времени когерентности. Тогда энергия Q практически совпадает (с точностью до множителя) с мгновенным значением интенсивности Q ITS, и распределение фотоотсчётов содержит распределение интенсивности излучения Р(I):

Соотношение (4) используется на практике для анализа распределения интенсивности света Р(I)по данным о распределении фотоотсчётов. В частности, моменты распределения интенсивности рассчитываются по величинам факториальных моментов распределения отсчётов Р_т(Т):

Хотя полное восстановление распределения интенсивности света по данным о распределении фотоотсчётов проблематично из-за неизбежных погрешностей измерения Р_т(Т), взаимосвязь (4) пригодна для проверки разл. статистич. гипотез о Р(I).

Если фоточувствит. площадка счётчика велика по сравнению с площадью когерентности излучения и (или) время измерения Т больше времени когерентности, то это соответствует малым флуктуациям падающей энергии Q около своего ср. значения и С. ф. приближается к пуассоновской, независимо от свойств света.

Соотношения (1) - (4) связывают С. ф. P_m(t,T)со свойствами излучения, если применимо классич. описание света и можно говорить об интенсивности излучения и его энергии вне связи с процессом фотодетектирования. В этом пределе С. ф. не может быть субпуассоновской, т. е. дисперсия не меньше ср. значения. Более общие квантовые соотношения, описывающие С. ф., снимают это ограничение. В квантовой оптике распределение фотоотсчётов связано с оператором плотности излучения через операторы положительной и отрицательной частотных частей электрич. поля (см. Когерентное состояние, Квантовая когерентность)[5]:

Здесь - след соответствующей матрицы, а оператор нормального упорядочения располагает операторы слева от оператора. В наиб. важном с практич. точки зрения случае, когда фоточувствит. площадка счётчика меньше площади когерентности излучения S_КОГ, а время Т не превосходит времени когерентности Т_КОГ, допустимо одномодовое описание светового поля в области счётчика и соотношение (5) принимает вид:

где- операторы рождения и уничтожения фотона в рассматриваемой моде, а оператор нормального упорядочения располагает слева от. Выражение (6) связывает распределение фотоотсчётов Р_т(Т)с кван-товооптич, характеристикой излучения - распределением числа фотонов в объёме когерентности излучения T_КОГS_КОГ. Эффективность детектирования в (6) отличается от физ. квантовой эффективности счётчика множителем: . Переход от квантовых соотношений к классич. пределу осуществляется заменой на IT_КОГS_КОГ.

Когерентное излучение, наиб. близкое к классич. пределу, имеет пуассоновское распределение числа фотонов

и распределение фотоотсчётов также пуассововское:

со ср. числом отсчётов

Для света с заданным числом фотонов п₀ распределение явно не классическое: и распределение фотоотсчётов биномиальное:

Такое распределение всегда субпуассоновское, поскольку ею дисперсия меньше ср. числа отсчётов

Для одномодового теплового поля вероятностное распределение задаётся степенным выражением (Базе - Эйнштейна статистикой):

распределение фотоотсчётов также степенное: со средним.

Т. о., измерение распределения фотоотсчётов Р_т(Т)позволяет восстанавливать распределение числа фотонов излучения Р_п. Если квантовая эффективность счётчика высока , а и, то распределения Р_п и Р_т(Т)мало отличаются друг от друга. Однако такие условия трудно реализовать из-за низких квантовых эффективностей счётчиков фотонов. В случае малых восстановить Р_п по распределению фотоотсчётов нетривиально вследствие ограниченпой точности данных о Р_т(Т), получаемых из измерений. Кроме того, задача усложняется др. погрешностями счётчиков: случайными срабатываниями, не связанными с приходом фотонов (темновой ток), мёртвым временем счётчиков (неспособностью их к срабатыванию в течение нек-рого интервала времени после предыдущего отсчёта) и др.

С. ф. применяется в исследованиях затухания люминесценции веществ после её кратковрем. возбуждения (напр., коротким световым импульсом) методом «стартового» и «стопового» импульсов. Излучение люминесценции вещества направляется на счётчик фотонов, и в последовательности повторяющихся актов измерения регистрируется распределение интервалов времени между моментом возбуждения люминесценции («стартовый» импульс) и моментом первого отсчёта («стоповый» импульс). Взаимосвязь распределения указанных интервалов р(Т)с временным ходом люминесценции I(t)основывается на выражении для вероятности нулевого числа фотоотсчётов (1), поскольку до первого отсчёта счётчик «молчит»:

В момент старта t = 0, а Т - интервал времени до первого фотоотсчёта. Вероятность отсутствия фотоотсчётов (7) уменьшается с ростом Т благодаря росту вероятности первого отсчёта, поэтому для распределения ингервалов Т по длительности справедливо:

Измерения интервалов организуются так, чтобы вероятность отсчётов была мала:

распределение интервалов р(Т)в этом случае просто повторяет ход затухания люминесценции: р(Т) I(Т). Метод «стартового» и «стопового» импульсов в исследованиях люминесценции веществ широко используется в связи с развитием техники лазерной генерации ультракоротких световых импульсов (длительностью 10^-10 с), необходимых для кратковрем. возбуждения люминесценции.

Ещё одним примером использования С. ф. для изучения когерентных свойств света является опыт Брауна - Твисса (6), в к-ром анализируются совпадения фотоотсчётов двух счётчиков, расположенных в одном световом поле (см. Интерферометр интенсивности). В ряде случаев этот опыт позволяет измерить время когерентности излучения.

Лит.: 1) Л о у д о а Р., Квантовая теория света, пер. с англ., М., 1976; 2) К л ы ш к о Д. Н., Физические основы квантовой электроники, М., 1986; 3) Перина Я., Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений, пер. с англ., М., 1987; 4) М a n d e l L., Fluctuations of photon beams and their correlations, «Proc. Phys. Soc.», 1958, y. 72, p. 1037; его ж е, Fluctuations of photon beams. The Distribution of photoelectrons, «Proc. Phys. Soc.», 1959, v. 74, p. 233; 5) К e 1 1 у P. L., К 1 e i n e r H., Theory of electromagnetic field measurement and photoelectron counting, «Phys. Rev.», 1964, v. A 136, p. 316; 6) В r о w n H. R., Т w i s s R. Q., Interferometry of the intensity fluctuations in light, I and II, «Proc. Boy Soc.», 1957, v. A 242, p. 300, 1958, v. A 243, p. 291. А. В. Масалов.

   <<      Предметный указатель      >>