статистический критерий

СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ - определяющие правила, согласно к-рым по результатам наблюдений принимается решение в задаче статистической проверки гипотез. С. к. строится следующим образом. Выбирается проверочная статистика - ф-ция данных наблюдений х и проверяемой гипотезы Пространство всех возможных значений X разбивается на две области - критическую w и допустимую . Если реализовавшееся в эксперименте значение проверочной статистики X попадает в критич. область со, то гипотеза Н₀ отвергается, в противном случае гипотеза Н₀ считается непротиворечащей результатам эксперимента и принимается. Размер критич. области со выбирается таким, чтобы вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна, т. е. величина , была бы малой. Величину наз. уровнем значимости данного критерия или ошибкой 1-го рода.

В тех случаях, когда есть только одна гипотеза Н₀, т. е. стоит задача подтверждения или опровержения Н₀, используемые критерии наз. критериями согласия. Для данных, сгруппированных в гистограмму ,наиб. популярными являются следующие два критерия. - критерий Пирсона. Как известно, ф-ция плотности вероятности мультиноминального распределения, к-рому подчиняются числа событий в бинах (каналах) гистограммы, в асимптотике по числу событий сходится к ф-ции плотности вероятности нормального распределения. Это позволяет показать, что статистика

где n_i - число событий в i-м бине гистограммы, k - число бинов, N - полное число событий, p_i - вероятность попадания события в i-й бин, согласно гипотезе Н₀, распределена по-распределению с k - 1 степенями свободы. Выбирая (1) в качестве проверочной статистики и критич. область , получаем критерий Пирсона с уровнем значимости

Критерий серий использует информацию о знаках разностей n_i - Np_i, к-рая теряется в-критерии. Если гипотеза H₀ полностью определена (простая гипотеза), то критерий серий не зависит от критерия для той же самой гистограммы и несёт независимую дополнит. информацию. Назовём серией последовательность отклонений п_i - Np_i одного знака. Если гипотеза Н₀ верна, то оба вида знаков отклонений равновероятны. Это позволяет вычислить распределение вероятности для числа серий R. Выбирая в качестве проверочной статистики величину R и в качестве критич. области при, получим критерий серий с уровнем значимости.

Более эфф. критериями проверки гипотезы H₀ являются критерии, предложенные Н. В. Смирновым и А. Н. Колмогоровым. Они используют в качестве проверочных статистик разл. «расстояния» между экспериментальной (выборочной) ф-цией распределения

и ф-цией распределения F₀(x), отвечающей гипотезе Н₀. Критерий Смирнова - Крамера - М и з е с а в качестве проверочной статистики использует ф-цию где f(x)- плотность ф-ции распределения F₀(x). Н. В. Смирновым вычислена плотность распределения вероятности величины NW² в асимптотич. пределе Критерий Колмогорова использует в качестве проверочной статистики ф-цию

асимптотич. распределение к-рой было получено Колмогоровым. Численные значения ф-ций распределения NW* и можно найти в [1]. Др. критерии проверки гипотезы H₀ можно найти в [1-3].

Пусть теперь кроме гипотезы Н₀ есть альтернативная простая гипотеза Н₁ и стоит задача выбора одной из них на основании вектора измерений х. В этом случае вводится величина, называемая мощностью критерия, к-рая определяется как вероятность попадания X в критич. область со, когда верна гипотеза H₁, т. е. . Мощность прямо связана с вероятностью принятия ложной гипотезы (ошибка 2-го рода):. Мощность позволяет сравнивать критерии между собой: наилучшим критерием для сравнения H₀ и Н₁ с данным уровнем значимости а служит критерий с макс, мощностью. Задачу поиска наиб. мощного критерия можно свести к задаче нахождения наилучшей критич. области в Х-пространстве. Решением последней задачи является критерий Неймана - Пирсона: если , то принимается Н₁; если , то принимается Н₀. Здесь - отношение правдоподобия, - ф-ция плотности вероятности х, если справедлива гипотеза H_i, а выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие

Область со состоит из тех точек пространства , в к-рых принимает наиб. значения. Критерий наз. состоятельным, если
т. е. если критерий с ростом числа наблюдений всё лучше разделяет гипотезы. Критерий наз. несмещённым, если для любой альтернативной гипотезы Н₁ критич. область выбрана так, что

Если гипотеза H₀ или Н₁ (или обе) не являются полностью определёнными (сложные гипотезы), то не существует оптим. метода конструирования наилучшего критерия. На практике в качестве проверочной статистики обычно используется отношение максимумов правдоподобия [2].

Лит.: 1) Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 3 изд., М., 1983; 2) Статистические методы в экспериментальной физике, пер. с англ., М., 1976; 3) К е н д а л л М., С т ь ю а р т А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973. В. П. Жигунов, С. В. Клименко.

   <<      Предметный указатель      >>