стохастические уравнения

СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ - уравнения, описывающие поведение реализации случайных процессов, волн и полей под действием случайных сил и флуктуирующих параметров, при случайных начальных или граничных условиях. Анализ С. у. состоит в определении статистич. характеристик их решений, напр. матем. ожидания, корреляц. ф-ции, плотности вероятности.

Первоначально С. у. были предложены П. Ланжевеном (P. Langevin) для описания броуновского движения (см. Ланжевена уравнение ).С. у. используют при изучении флуктуации в радиотехн. устройствах и квантовых генераторах, при анализе вибраций, в теории связи и адаптивного управления, при исследовании распространения волн в случайно-неоднородных средах и т. д. Случайные процессы обычно описывают системой обыкновенных дифференц. С. у.

где - детерминиров. ф-ции, - матрица случайных сил с известными статистич. характеристиками.

Методы анализа С. у. разбивают на 2 группы. Методы 1-й группы состоят в точном или приближённом решении дифференц. ур-ний и последующем вычислении статистич. характеристик найденных решений. В методах 2-й группы от С. у. переходят к ур-ниям для статистич. характеристик решений, а затем решают полученные детерминиров. ур-ния.

В методах 2-й группы возникает проблема замыкания ур-ний и расщепления корреляций. Напр., перейдём от С. у.

к ур-нию для среднего (угл. скобки означают статистич. усреднение):

Это ур-ние может оказаться не замкнутым относительно по двум причинам: 1) если а(х) - нелинейная ф-ция, среднее не выражается через; 2) среднее определяется совм. статистич. свойствами x(t)и . При расщеплении средних типа применяют теорию возмущений по малому параметру, где - время корреляции - характерный масштабx(t). Если x(t) - решение С. у. (1), а - гауссов белый шум с корреляц. ф-цией, пропорциональной -функции,

т. е. = 0, то справедлива точная ф-ла расщепления

В этом случае ур-ние (2) принимает вид:

В случае линейных С. у. подобное расщепление приводит к замкнутым ур-ниям для моментов. Напр., если в С. у. (1) а = ах, b = bх. то ур-ние (3) замыкается:

Если С. у. нелинейно, то моменты его решения удовлетворяют бесконечной цепочке зацепляющихся ур-ний, при обрывании к-рой используют дополнит. приближения.

Для исследования статистич. свойств нелинейных С. у. типа (1) удобен аппарат марковских случайных процессов. Так, если - гауссов белый шум, то решение С. у. представляет собой непрерывный марковский (диффузионный) процесс, плотность вероятности переходов к-рого удовлетворяет Фоккера - Планка уравнению. Плотность вероятности переходов для скачкообразных марковских процессов удовлетворяет интегродифференциальному Колмогорова - Феллера уравнению. Можно аппроксимировать случайные воздействия марковскими процессами, напр. считать, что

в С. у. (1) - случайный процесс, удовлетворяющий С. у.:

где - гауссов белый шум. При этом совокупность образует двумерный марковский процесс, совместная плотность вероятности переходов к-рого удовлетворяет двумерному ур-нию Фоккера - Планка.

Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, напр. в турбулентной атмосфере, ионосфере, межзвёздной плазме и т. д., описывается С. у. с частными производными. Примером служит Гельмгольца уравнение для стохастич. Грина функции:

где - случайное поле неоднородностей среды, k - волновое число. Мн. методы исследования с помощью (4) статистики случайных волн опираются на анализ рядов теории возмущений по е:

где G₀ - невозмущённая ф-ция Грина. Если рассеяние волны на случайных неоднородностях среды невелико, то пользуются борновским приближением (приближением однократного рассеяния), удерживая в правой части (5) лишь два первых слагаемых. Если рассеяние существенно многократное, то при расчёте статистич. характеристик волны и выводе приближённых замкнутых ур-ний для ср. поля , ф-ции когерентности и т. д. производят селективное суммирование ряда теории возмущений, используя Фейнмана диаграммы.

При анализе распространения и рассеяния волн в случайно-неоднородных средах применяют и методы, основанные на переходе от исходных С. у. к более простым. Сюда относятся, в частности, геометрической оптики метод, параболического уравнения приближение, плавных возмущений метод, приближение случайного фазового экрана, переход к ур-нию переноса излучения.

Лит.: Введение в статистическую радиофизику, ч. 1 - Рытов С М., Случайные процессы, М., 1976; ч. 2 - Рытов С. М., К р а в ц о в Ю. А., Т а т а р с к и и В. И., Случайные поля, М., 1978; Справочник по теории вероятностей и математической статистике, 2 изд., М., 1985; К л я ц к и н В. И., Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах, М., 1980. А. Н. Малахов, А. И. Саичев.

   <<      Предметный указатель      >>