странный аттрактор

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР - притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы. С. а., в отличие от аттрактора, не является многообразием (т. е. не является кривой или поверхностью); его геом. устройство очень сложно, а его структура фрактальна (см. Фракталы ).Поэтому он получил назв. «странный» [Д. Рюэль (D. Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Тот факт, что все траектории, расположенные в окрестности С. а., притягиваются к нему при , принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, к-рые неустойчивы по одним и устойчивы (притягивающи) по др. направлениям (т. е. являются седловыми; см. также Бифуркация, Предельный цикл). Траектории С. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания ,поддерживаемые в диссипативной системе за счёт энергии внеш. источника. С. а. характерны лишь для автоколебат. систем, размерность фазового пространства к-рых больше двух (рис. 1). Первая исследовавшаяся система со С. а.- Лоренца система - трёхмерна.

Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа (1).

Системы с периодич. автоколебаниями, матем. образом к-рых является предельный цикл, удаётся исследовать достаточно полно с помощью методов качественной теории дифференц. ур-ний. Построение же теории стохастических колебаний, заключающееся, в частности, в определении (предсказании) характеристик и свойств С. а. по заданным параметрам системы, чрезвычайно затруднительно даже для трёхмерных систем. Подобное построение удаётся провести, однако, в тех случаях, когда в системе существует малый параметр, позволяющий с помощью отображения Пуанкаре перейти от анализа траекторий в трёхмерном пространстве к исследованию траекторий отображения.

Пример [1]. Подобно тому, как генератор Ван-дер-Поля является простейшим и канонич. примером системы, демонстрирующей периодич. автоколебания, схема, представленная на рис. 2а и определяющая несколько усложнённый генератор Ван-дер-Поля, может служить одним из простейших примеров генераторов стохастич. автоколебаний. От генератора Ван-дер-Поля с контуром в цепи сетки эта схема отличается лишь включённым в контур последовательно с индуктивностью туннельным диодом или др. нелинейным элементом с вольт-амперной характеристикой, представленной на рис. 2 б. Пока ток I в контуре и напряжение на сетке V малы, туннельный диод не оказывает существ. влияния на колебания в контуре, и они, как и в обычном ламповом генераторе, нарастают. При этом через туннельный диод течёт ток I, а напряжение на нём определяется ветвью характеристики I(V). Когда же ток I достигает значения I_т, происходит почти мгновенное переключение туннельного диода (быстрота переключения связана с малостью ёмкости С₁) - скачком устанавливается напряжение V_m. Затем ток через туннельный диод уменьшается и происходит его обратное переключение с участка на. В результате двух переключений туннельный диод почти полностью поглощает поступившую в контур энергию и колебания начинают снова нарастать. (При рассмотрении работы схемы характеристику лампы можно считать линейной; это оправдано тем, что в интересующем нас режиме колебания ограничиваются нелинейной характеристикой туннельного диода.) Т. о., генерируемый сигнал U(t)представляет собой последовательность цугов нарастающих колебаний; окончание каждого цуга характеризуется скачком напряжения V(t).

Рис. 2. Принципиальная схема (а) простого генератора шума- генератора Ван-дер-Поля, в сеточный контур которого добавлен туннельный диод. Вольт-амперная характеристика (б) нелинейного элемента - туннельного диода.

Для количественного описания работы схемы исходные ур-ния

преобразуют к безразмерному виду:

где x = I/I_m, z= V/V_m,

- нормированная характеристика диода. Здесь - малый параметр Поэтому все движения в фазовом пространстве (рис. 3)

Рис. 3. Поведение траекторий в фазовом пространстве системы (1) при

можно разбить на быстрые переключения диода (прямые х = const, у = const) и медленные, при к-рых напряжение на диоде «следит» за током; соответствующие траектории лежат на поверхностях А и В [х = f(z), f'(z) >0], отвечающих участкам и характеристики Диода.

Система имеет одно неустойчивое [при ] состояние равновесия х = у = z = 0 типа седло. Траектории, лежащие на поверхности А, раскручиваются вокруг неустойчивого фокуса и в конце концов достигают края поверхности А. Здесь происходит срыв точки, отображающей на фазовой траектории состояние системы (т. н. изображающей точки) по линии быстрых движений на поверхность В. Пройдя по В, изображающая точка срывается обратно на поверхность А и попадает в окрестность состояния равновесия - начинается новый цуг нарастающих колебаний. Построенная картина движения соответствует реализации, представленной на рис. 4, и её спектру мощности.

Отображение Пуанкаре, соответствующее ур-ниям (1), при кусочно можно описать непрерывной ф-цией, график к-рой приведён на рис. 5. Линейный участок I с коэф. угла наклона, большим единицы, описывает раскручивание траектории на поверхности медленных движений А, соответствующей нарастанию колебаний в контуре. Участок II описывает этап возвращения траекторий, сорвавшихся с поверхности А на поверхность В, обратно на А (см. рис. 3). Все траектории, лежащие вне основания обозначенного пунктиром квадрата, входят в него при асимптотически больших значениях времени, т. е. область D - поглощающая и содержит аттрактор. Все траектории внутри этой области неустойчивы, т. е. аттрактор является странным. При малых значениях свойства стохастичности движений (как показывают численные исследования) сохраняются.

Рис. 4. Спектр мощности сигнала, генерируемого схемой, представленной на рис. 2а, и осциллограмма этого сигнала.

Рис. 5. График функции f(x), описывающей динамику схемы рис. 2 при .

Фрактальная размерность. Все разнообразие статистич. свойств случайного сигнала, порождаемого динамич. системой со С. а., может быть описано, если известно распределение вероятности состояний системы. Однако получить (и использовать) это распределение для конкретных систем со С. а., чрезвычайно сложно (хотя бы потому, что плотность распределения инвариантной вероятностной меры всегда сингулярна). Это одна из причин, по к-рой для описания С. а. и сопоставления его свойств со свойствами реального сигнала используют разл. рода усреднённые характеристики. Наиб. широко используемыми являются всевозможные размерностные характеристики, в частности фрактальная размерность (см. также [2-4])

где , нек-рый фиксированный параметр, - число n-мерных шаров диаметра, покрывающих С. а. динамич. системы с n-мерным фазовым пространством.

Определённая согласно ур-нию (2) размерность с не может, очевидно, превышать n, но может быть меньше п (n-мерные шары могут оказаться почти пустыми). Для «обычных» множеств ур-ние (2) даёт очевидные результаты. Так, для множества из k точек ,; для отрезка длины L прямой лилии,; для куска площади S двумерной поверхности, и т. д. Неравенство размерности целому числу соответствует сложному геом. устройству. Для генератора, изображённого на рис. 1, размерность соответствующего аттрактора системы (1) в широком диапазоне изменения параметров остаётся заключённой в интервале (2,3 2,6).

С физ. точки зрения, осн. «достоинство» фрактальной размерности С. а. в том, что она даёт оценку эфф. числа степеней свободы, формирующих установившийся (после окончания всех переходных процессов) стохастич. сигнал. Более строгое соотношение между размерностью и числом степеней свободы га имеет вид:

Бифуркации странных аттракторов. Пути рождения стохастич. автоколебаний при изменении управляющего параметра (напр., коэф. усиления в генераторе рис. 1) зависят от конкретных свойств исследуемой системы. Однако как и предельный цикл, к-рый может родиться лишь несколькими типичными способами, так и С. а. обладают сравнительно небольшим числом наиб. типичных возможностей возникновения [1,4-6].

Сценарий Фейгенбаума - цепочка бифуркаций удвоения периода устойчивого предельного цикла. Если при изменении управляющего параметра периодич. движение теряет устойчивость, то вместо него может возникнуть др. устойчивое движение (напр., квазипериодическое, лежащее на притягивающем двумерном торе) либо предельный цикл удвоенного периода; последнему случаю соответствует переход мультипликатора через (-1). В n-мерном фазовом пространстве поведение траекторий отображения Пуанкаре в окрестности претерпевающего бифуркацию удвоения периода предельного цикла определяется ф-цией, напр., f(x), график к-рой похож на параболу. Эта ф-ция описывает связь между координатами в направлении собств. подпространства оператора линеаризации отображения Пуанкаре, отвечающего мультипликатору (-1) (j + 1)-го и j-го пересечений траекторией системы секущей Пуанкаре: x_j+1 = f(x_j). Возникшему устойчивому предельному циклу удвоенного периода отвечает двупериодич. траектория отображения f. При дальнейшем изменении параметра бифуркации удвоения периода бесконечно повторяются, а бифуркац. значения, напр., накапливаются к критич. точке , отвечающей возникновению С. а. В соответствии со сценарием Фейгенбаума имеет место универсальный (не зависящий от конкретной системы) закон

где = 4,6692... - универсальная константа Фейгенбаума (см. Фейгенбаума универсальность).

Родившемуся С. а. при фиксированном отвечает неск. интервалов на оси х; участки между этими интервалами содержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2^m-периодические (относительно отображения f), неустойчивые предельные циклы, начиная с нек-рого m₀ и меньше. При увеличении параметра скорость разбегания траекторий на С. а. увеличивается, и он «разбухает», последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2^т+1, 2^т, ... При этом число отрезков, отвечающих аттрактору, уменьшается, а их длины увеличиваются. Возникает как бы обратный каскад последоват. упрощений аттрактора. Рис. 6 иллюстрирует этот процесс для двух последних бифуркаций. На рис. 6а «лента» аттрактора совершает 4 оборота, после бифуркации она становится двухоборотной и затем, после следующей бифуркации, замыкается на себя всего через один оборот, предварительно перекрутившись (6б и 6в).

Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбухание аттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума.

Перемежаемость. Во мн. системах при прохождении управляющего параметра (скажем,) через бифуркац. значение переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редкое нарушение регулярных колебаний «стохастич. всплесками». При этом длительность ламинарной (регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкритичность С ростом же надкритичности длительность регулярной фазы сокращается. Эта картина интерпретируется следующей эволюцией осн. объектов в фазовом пространстве, определяющих бифуркации (предельные циклы, сепаратрисы седловых периодич. траекторий и пр.). В момент бифуркации сливаются и исчезают отвечающий автоколебаниям устойчивый предельный цикл и седловая периодич. траектория. При малой надкритичности все траектории, стремившиеся ранее к устойчивому предельному циклу, долгое время сохраняют характер своего поведения, т. е. демонстрируют движение, близкое к периодическому. С течением времени они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой (также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазового пространства. Если в докритич. области система была глобально устойчива (т. е. существовал только один притягивающий объект), то эти траектории через нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельного цикла. Если при этом в докритич. области значений параметров сепаратриса седлового цикла была вложена в фазовое пространство достаточно сложным геом. образом (образовывала бесконечное число складок - «гофрировалась», содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то есть переходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попадания в окрестность исчезнувшего цикла уже будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная фаза, предшествующая новому, «турбулентному», всплеску и т. д.

Кроме этих основных способов возникновения С. а. достаточно часто встречаются также переходы к хаотич. автоколебаниям через разрушение квазипериодических (в фазовом пространстве при изменении управляющих параметров теряет гладкость и разрушается притягивающий двумерный тор) и комбинированные сценарии [6].

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются в системах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, объясняющих существование многомерных С. а., выделяются следующие: 1) в многомерном фазовом пространстве в докритич. ситуации существуют непритягивающее стохастич. множество и маломерный С. а. В момент бифуркации маломерный аттрактор перестаёт быть таковым, а бывшее непритягивающим стохастич. множество высокой размерности вливается в возникший жёстким образом (скачком) многомерный аттрактор; 2) при изменении параметров в аттракторе происходит постепенная непрерывная перестройка его структуры, при к-рой размерность аттрактора монотонно увеличивается. Здесь можно выделить два случая: а) при изменении параметра в аттракторе рождаются седловые траектории со всё большим числом неустойчивых направлений; б) число неустойчивых направлений сохраняется, но возрастает скорость разбегания траекторий вдоль этих направлений. Стохастич. автоколебания распределённых систем (с бесконечномерным фазовым пространством) имеют много общего с движением динамических диссипативных систем, описываемых системами конечного числа обыкновенных дифференц. ур-ний. Связь эта объясняется действием высокочастотной диссипации (в гидродинамике, напр., это - вязкость). Такая диссипация лишает мелкомасштабные возбуждения среды самостоятельности, в результате чего описывающие их движение ф-ции начинают алгебраически зависеть от соответствующих ф-ций, отвечающих крупномасштабным возбуждениям. Т. о., реально движение бесконечномерной системы описывается траекториями, лежащими на конечномерном (хотя, возможно, высокой размерности) С. а. Неупорядоченное течение в области перехода к турбулентности также представляет собой движение на С. а. (см. Турбулентность).

Лит.: 1) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984; 2) Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая динамика, пер. с англ., М., 1984; 3) Афраймович В. С., Рейман А. М., Размерность и энтропия в многомерных системах, в кн.: Нелинейные волны. Динамика и эволюция, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, М., 1989; 4) Шустер Г., Детерминированный хаос. Введение, пер. с англ., М., 1988; 5) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Гидродинамика, 4 изд., М., 1988; 6) Афраймович В. С., Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов, в кн.: Нелинейные волны. Структуры и бифуркации, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, М., 1987; 7) Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности, под ред. X. Суинни, Дж. Голлаба, пер. с англ., М., 1984; 8) Рабинович М. И., Сущик М. М., Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости, «УФН», 1990, т. 160, с. 3. В. С. Афраймович, М. И. Рабинович.

   <<      Предметный указатель      >>