суперпространство

СУПЕРПРОСТРАНСТВО -расширенное пространство в теории суперсимметрии, к-рое кроме обычных пространственно-временных координат включает также спинорные координаты.

Спинорные переменные q^a антикоммутируют друг с другом и коммутируют с координатами пространства-времени х^m:

и поэтому они могут рассматриваться как нечётные образующие нек-рой Грассмана алгебры, чётными образующими к-рой служат координаты x^m. Отсюда название для q^a- г р а с с м а н о в ы к о о р д и н а т ы. Антикоммутативность q^a необходима для обеспечения правильной связи спина и статистики. Важное следствие антикоммутативности грассмановых переменных - их нильпотентность:

Концепция С. играет ключевую роль в суперсимметрии [1-6]: группа преобразований суперсимметрии имеет естеств. реализацию в С. как группа его движений, а соответствующие супермультиплеты компактно представляются с у п е р п о л я м и [2] - ф-циями, заданными на С.

N-расширенная суперсимметрия Пуанкаре наиб. прямым образом может быть реализована в веществ. С. [1 - 6]:

с 4 чётными координатами х^m и 4N нечётными координатами а, =1, 2; i, j=1, 2, ..., N [, ⁺ - эрмитово сопряжение]. Нечётные координаты являются двухкомпонентными вейлевскими спинорами (1/2, 0) и (0, 1/2) Лоренца группы и преобразуются соответственно по кварковому (верх. латинский индекс) и антикварково-му (ниж. латинский индекс) представлениям унитарной группы автоморфизмов U(N)расширенной суперсимметрии.

Преобразования суперсимметрии над координатами С. (суперсдвиги) имеют вид

где e^ai, -антикоммутирующие спинорные параметры, s^m=(I, s), s- Паули матрицы, I-единичная матрица. Генераторы суперсдвигов (4) представляются дифференц. операторами на С. (3):

( ) и вместе с генератором трансляций P_m=iд_m образуют алгебру N-расширенной суперсимметрии Пуанкаре:

(где d ^j_i-символ Кронекера). (Полная супералгебра Пуанкаре включает также алгебры группы Лоренца и группы автоморфизмов.)

У одной и той же супергруппы может быть неск. различных С., в к-рых она действует как группа движений. Напр., в случае N= 1 важную роль в физ. приложениях играет комплексное киральное (левое, L)С. , содержащее в 2 раза меньше спинорных переменных, чем вещественное С. ,

Оно содержит как вещественную гиперповерхность.

Для плоского пространства условия вложения в имеют вид

При N> 1 также существуют киральные С. , однако адекватными физ. теориями оказываются не они и не , а а н а л и т и ч е с к и е г а р м о н и ч е с к и е С. (см. ниже).

Суперполя-ф-ции на С. [2,4-6]. Они представляют собой компактную форму записи супермультиплетов. Поля, составляющие супермультиплет, возникают как коэф. разложения суперполей по степеням грассмановых координат. Из-за нильпотентности последних эти разложения обрываются на конечном числе членов. Преобразования суперсимметрии замыкаются на суперполях вне массовой поверхности, т. е. без использования ур-ний движения. Необходимые для этой Цели в с п о м о г а т е л ь н ы е п о л я автоматически присутствуют в разложениях суперполей наряду с физ. полями. Это обеспечивает независимость вида преобразований суперсимметрии от рассматриваемой модели взаимодействуя.

Суперполе на С.

[где j(x)-скалярное, c_ai(х), (х) - вейлевские спинорные поля ] содержит в общем случае 2^4N бозонных и столько же фермионных компонент (для вещественных суперполей это число уменьшается вдвое). Киральные суперполя, определённые на комплексном С. или сопряжённом к нему, с необходимостью комплексны. Они содержат 22 степеней свободы (поскольку в них входят либо q^ai, либо). Компонентные поля, стоящие в суперполе в слагаемых с отличающейся на единицу степенью q, различаются спином или спиральностью на ¹/₂ и грассмановой чётностью. Преобразования суперсимметрии компактно представляются ф-лой

Суперполе может иметь внеш. лоренцов индекс и индекс группы автоморфизмов суперсимметрии, а также индекс к--л. группы внутренней симметрии.

В общем случае суперполя содержат неск. супермультиплетов. Напр., вещественное N= 1 суперполе содержит скалярный и векторный [включающий векторное поле А_m(х)] супермультиплеты вне массовой поверхности (здесь j, F, D - произвольные скалярные поля, А_m и l_a, - произвольные векторное и спинорные поля). Простейшим неприводимым суперполем является киральное N=1 суперполе описывающее скалярный N= 1 супермультиплет вне массовой поверхности. Этот супермультиплет включает в себя два вещественных поля-скалярное и псевдоскалярное: j(x_L )A(x_L) + iB(x_L)(спин 0), спинор y_a(x_L) (спин 1/2) и два вещественных вспомогат. поля:

Как и поля в пространстве Минковского, суперполя классифицируются по значениям соответствующих Казимира операторов, построенных из генераторов группы суперсимметрии [2, 4-8]. Квантовыми числами, имеющими смысл вне массовой поверхности, являются с у п е р-с п и н Y и с у п е р и з о с п и н I, к-рые обобщают понятия спина и изоспина обычных полей (число операторов супер-изоспина в общем случае равно рангу группы автоморфизмов). Суперспин данного супермультиплета совпадает с низшим значением спина у физ. компонентных полей. Напр., киральное суперполе (12) имеет Y=0, a N= 1 суперполе Ф_J(x, q, ), неприводимое по спину J, содержит четыре неприводимых супермультиплета с Y=J- 1/2, J, J, J+ 1 /2. В частности, суперполе (11) содержит мультиплеты с суперспйнами 0 (дважды) и 1 /2. Простые правила подсчёта существуют и для суперизоспинов. Напр., суперизоспин неприводимого N=2 супермультиплета равен изоспину состояния с наивысшим спином [8 ].

Выделение из суперполей неприводимых представлений осуществляется, как и в случае обычных полей, либо наложением дополнит. условий (устраняющих лишние суперспины), либо за счёт требования калибровочной инвариантности. Чтобы условия неприводимости были ковари-антны относительно суперсимметрии, они должны строиться из ковариантных дифференц. операторов. Такими операторами являются ковариантные спинорные производные

Они антикоммутируют с генераторами группы суперсимметрии (4) и образуют супералгебру, изоморфную (5):

Простейшими и наиб. геометричными являются условия, линейные по спинорным производным, напр. условия N= 1 киральности, выделяющие в Ф(х, q,) неприводимые части с суперспином 0:

или

Условия такого типа выражают аналитичность по грассма-новым переменным (грассманову аналитичность) [9 ], т. к. они решаются через суперполя, определённые на С. с меньшим числом грассмановых образующих [в примере (15) - на N= 1 киральном С. ]. Принцип сохранения понятия грасс-мановой аналитичности лежит в основе суперполевой геометрии большинства известных суперсимметричных теорий (напр., полей Янга - Миллса, полей материи, супергравитации).

Возможны и условия более высокого порядка по спинорным производным. Напр., массивный векторный N= 1 супермультиплет (суперспин ¹/₂). выделяется условиями [2,4,7] к-рые следуют из соответствующих суперполевых ур-ний движения и содержат обычное условие поперечности для векторного поля д^mА_m(х) = 0. Таким же условиям (однако вне массовой поверхности) удовлетворяет и напряжённость тензорного N= 1 супермультиплета, включающего т.н. нотоф - калибровочный антисимметричный тензор, описывающий поле нулевой спиральности на массовой поверхности.

Смысл условий (15) или (16) становится ясным, если вместо нарушающей явную суперсимметрию процедуры разложения суперполей на компонентные поля пользоваться ковариантным методом проекций [5]. Идея этого метода состоит в том, чтобы вместе с исходным суперпо-лем рассматривать и все его суперполевые проекции, получаемые действием на него всех возможных степеней спи-норных производных. Поскольку каждая такая проекция начинается с соответствующей компоненты разложения по q исходного суперполя, напр.:

то их набор полностью эквивалентен набору исходных компонентных полей. Ковариантные условия типа (15) или (16) исключают, приравнивая нулю, все суперполевые проекции, кроме тех, к-рые составляют данный неприводимый супермультиплет.

Др. способ освободиться от лишних полей состоит в том, чтобы сделать их калибровочными. Так, вещественное скалярное N=1 суперполе (11) с калибровочной группой

(где l - произвольная калибровочная суперфункция) описывает абелев калибровочный N= 1 супермультиплет [преобразования (17) включают обычное калибровочное преобразование векторного поля]. Он обладает суперспином ¹/₂, супермультиплеты с нулевыми суперспинами становятся чисто калибровочными и могут быть исключены выбором калибровки. Неприводимый состав таких калибровочных суперполей удобно анализировать, приравнивая нулю все компоненты, сдвигающиеся на произвольные ф-ции при калибровочных преобразованиях (в т.н. калибровке Вес-са - Зумино) [4-6]. Калибровка Весса - Зумино для суперполя (17) имеет вид

Здесь А_m(х)и c_b(x), -поля фотона и фотино (суперсимметричного партнёра фотона), D(x) - вспомогат. поле. С учётом остаточной калибровочной инвариантности [l(x)- калибровочная ф-ция] в суперполе (18) присутствуют 4 + 4 компоненты, составляющие калибровочный N=1 супермультиплет вне массовой поверхности.

Преимущества суперполевых формулировок. Осн. преимущество суперполевых формулировок суперсимметричных теорий над компонентными - наличие явной суперсимметрии вне массовой поверхности. Благодаря этому свойству наиб. полно выявляются замечат. геом. и квантовые следствия суперсимметрий. Как и в случае обычных полей, желательно, чтобы суперполя не были подвержены сторонним связям. Формулировки через суперполя без связей позволяют обнаруживать нетривиальные внутр. геометрии, присущие суперсимметричным теориям, они обладают простотой и элегантностью. Их главное практич. достоинство состоит в возможности построения инвариантной суперполевой теории возмущений, в рамках к-рой радикально упрощаются анализ сокращения квантовых расходимостей и доказательства конечности теории (открытие теорий поля, свободных от ультрафиолетовых расходимостей,- пока самое яркое достижение суперсимметрии). Доказательства конечности в суперполевом формализме основаны на общих теоремах о неперенормировке (отсутствии соответствующих суперполевых контрчленов [6]) и не требуют детальных расчётов диаграмм Фейн-мана.

Построение явно инвариантных геом. суперполевых формулировок суперсимметричных теорий вне массовой поверхности полностью завершено для случаев N= 1 и N=2. Существует также формулировка N=3 теории Янга - Миллса. Пока не найдено адекватного суперполе-вого описания N=4 теории Янга - Миллса и супергравитаций с N>=3. Остаётся пока нерешённой задача построения суперсимметричных теорий типа Калуцы - Клейна теории (в пространствах высоких размерностей) и полевых теорий протяжённых суперсимметричных объектов типа суперструны (см. Суперструны ).Теоретико-групповой и геом. основой всех известных инвариантных суперполевых формулировок служит принцип сохранения простейших представлений глобальной суперсимметрии при включении взаимодействия. Поскольку в большинстве случаев эти представления выделяются условиями грассмановой аналитичности типа (15), указанный принцип эквивалентен требованию сохранения той или иной грассмановой аналитичности.

Примеры теорий в N=1 суперпространстве [4-6]. Построение инвариантных суперполевых действий основано на том свойстве, что при преобразованиях суперсимметрии к высшим компонентам суперполей [D-компонента вещественного (11) и F-компонента кирального (12) N=1 суперполей] добавляется полная производная. Поэтому интеграл по d⁴x от высшей компоненты разложения по 0 плотности лангранжиана, построенной из суперполей и их производных (спинорных и обычных), является инвариантом.

Простой пример N=1 суперполевого действия-действие массивного кирального суперполя с самодействием j³:

где использовано интегрирование по грассмановым переменным (интегрирование по Березину [3]), к-рое является удобным явно инвариантным способом выделения высших компонент из суперполевых лагранжианов. Грассманово интегрирование эквивалентно дифференцированию:

После перехода к компонентам и исключения вспомогат. полей F(x) = F₁(x) + iF₂(x)с помощью ур-ний движения действие (19) сводится к выражению

(где т - масса, g-безразмерная константа связи), т.е. к действию массивного комплексного скалярного поля Ф с само действиями j³ и j⁴ и массивного майорановского спинора, взаимодействующих посредством юкавских связей (метрика пространства Минковского выбрана в виде "+ - - -"). Явная N= 1 суперсимметрия действия (19) становится неявной в компонентном представлении (21). Она теперь выражается в равенстве масс бозонов и ферми-онов и в наличии единой константы связи.

Действие (19), (21) перенормируемо. Замечат. следствием его суперсимметрии является то, что вместо трёх независимых констант перенормировки, свойственных бозон-ной теории с самодействием j⁴, в нём появляется лишь одна такая константа (константа перенормировки волновой ф-ции). Этот факт является проявлением простейшего варианта теоремы о неперенормировке, к-рая следует из вида суперполевого действия (19) и явно инвариантной теории возмущений для киральных суперполей. Любой вклад в эфф. квантовое действие всегда локально представим интегралом по вещественному С. , но не по Поэтому возможные суперполевые контрчлены всегда имеют структуру первого члена в действии (19), что приводит к появлению константы перенормировки только перед этим членом.

Само действие j³ - единств. перенормируемое самодействие киральных N= 1 суперполей [действие (19) можно обобщить на любое число таких суперполей].

Общий лагранжиан можно получить из (19) заменами

где К и Р - произвольные вещественная и комплексная ф-ции своих аргументов. Он приводит к кэлеровской нелинейной сигма-модели для физ. бозонов [10] и имеет простой геом. смысл.

Др. важная модель - N= 1 калибровочная теория. Она описывается действием

где W^a - киральная ковариантная спинорная напряжённость N= 1 калибровочного суперполя V^A(x, q,):

Здесь Т^А - генераторы калибровочной группы (А - индекс присоединённого представления группы). Трансформац. закон (24) в абелевом пределе сводится к (17), поэтому в V^A(, q, ) можно перейти к калибровке Весса-Зумино (18). В этой калибровке действие (22) переписывается в компонентах следующим образом:

где G_mvG^A_mvT^A- обычная напряжённость поля Янга- Миллса и (D_m)-ковариантная производная в присоединённом представлении. Калибровочное N=1 суперполе V^A и суперполевая формулировка N=1 калибровочной теории могут быть выведены из требования, чтобы понятие киральности (15) сохраняло свой смысл для суперполей, принадлежащих к нетривиальным представлениям калибровочной группы. Тот же фундам. принцип сохранения киральности (т. е. N=1 грассмановой аналитичности) лежит в основе геом. формулировок N= 1 супергравитации.

Гармоническое суперпространство. Попытки описания суперсимметричных теорий с N>=2 в С. или сталкиваются с существ. трудностями. Осн. трудность состоит в том, что соответствующие суперполя содержат много лишних супермультиплетов и для их устранения приходится либо налагать сторонние связи, либо прибегать к сложным калибровочным группам негеом. происхождения. Более того, существуют т. н. "no-go" теоремы- теоремы о невозможности построения формулировок ряда теорий с расширенной суперсимметрией (напр., калибровочных теорий с N=3, 4) вне массовой поверхности на основе конечного числа вспомогат. полей [11].

Адекватное геом. описание теорий с расширенной суперсимметрией достигается в рамках гармонич. С. Они получаются добавлением к обычным координатам {х^m, q^ai, q^-a._j} дополнит. чётных координат, параметризующих пространства групп автоморфизмов.

Гармоническое N=2 суперпространство [12]

включает двумерную сферу S², на к-рой группа автоморфизмов N=2 супералгебры SU(2) действует как группа движений и для описания к-рой используются изоспинор-ные гармоники (b - U(1)-заряды). Они определены с точностью до произвольной фазы U(1) и, т. о., содержат два независимых параметра, характерных для двумерной сферы. В С. (26) имеется нетривиальное подпространство - а н а л и т и ч ес к о е г а р м о н и ч е с к о е с у п е р п р о с т р а н с т в о замкнутое относительно N=2 суперсимметрии В С. (27) можно определить операцию сопряжения (отличную от обычного комплексного сопряжения), относительно к-рой (27) вещественно. Соответственно заданные на нём суперполя (аналитич. гармонич. суперполя) могут выбираться вещественными.

Аналитич. С. (27) играет фундам. роль в N=2 суперсимметрии: все N=2 теории (теории материи, Янга-Миллса, супергравитации) формулируются явно инвариантным геом. образом на языке аналитич. N = 2 суперполей, свободных от сторонних связей [12]. Аналитич. суперполя Ф(q) характеризуются U(1)-зарядом q (наряду с возможным лоренцевым индексом) и являются решением условий грассмановой N=2 аналитичности:

Они содержат бесконечное число N=2 супермультиплетов с одним и тем же суперспином и нарастающими суперизо-спинами, связанными с q ф-лой

Бесконечное число полей с нарастающими изоспинами в j^(q) обусловлено зависимостью j^(q) от гармонич. переменных u^bi, разложение по к-рым является гармонич. разложением на сфере S². Физ. поля N=2 теорий входят в мультиплеты с низшими суперизоспинами, а бесконечный набор высших супермультиплетов оказывается либо вспомогательными, либо калибровочными степенями свободы.

Бесконечное число вспомогат. полей - принципиально новая черта теорий в гармонич., С. Благодаря этому свойству удалось преодолеть ряд ''no-go'' теорем и построить формулировки вне массовой поверхности для N=2 гипермультиплетов (см. ниже) материи (в плоском и искривлённом С.) и для N=3 теории Янга-Миллса (в аналитич. гармонич. N=3 С. [13]).

Примеры N=2 теорий. Осн. супермультиплет N=2 материи- г и п е р м у л ь т и п л е т. Он отвечает значениям суперспина Y=0 и суперизоспина I=1/2 и на массовой поверхности состоит из SU(2)- дублета скалярных полей jⁱ(x) и дираковского изосинглетного поля фермиона y_a(x), . Вне массовой поверхности гипермультиплет описывается аналитическим N = 2 суперполем q⁺ (z, и)[12]:

где точками обозначены поля с высокими изоспинами, возникающие из гармонич. разложений коэффициентов при членах с разными степенями 6. Инвариантное действие свободного гипермультиплета в плоской N=2 суперсимметрии даётся интегралом по С. (27):

где du - мера интегрирования на сфере S², D_A⁺²- сохраняющая аналитичность гармонич. производная,

Лангранжева плотность в (30) имеет U(1)-заряд q=+4, т.к. мера интегрирования имеет U(1)-заряд q=-4. Из действия (30) следует ур-ние движения

к-рое приравнивает нулю весь бесконечный набор вспомогат. полей с высшими изоспинами в q⁺, одновременно приводя к правильным ур-ниям движения для физ. полей. Наиб. общее самодействие гипермультиплетов получается добавлением к лангранжиану в (30) произвольной ф-ции V⁺⁴(q⁺ ,⁺ , u⁺)с зарядом q= + 4. В секторе физ. полей при этом возникает нелинейная сигма-модель (отвечающая ги-перкелеровым многообразиям [14]).

В N=2 калибровочной теории осн. суперполем является вещественная аналитич. гармонич. связность V⁽⁺²⁾(z, и):

через к-рую выражаются все остальные геом. объекты теории. Бесконечный набор "лишних" супермультиплетов с суперизоспинами I=1, 2, 3, ... в V⁺² устраняется калибровочной группой (32), в итоге остаётся лишь калибровочный N=2 супермультиплет вне массовой поверхности с Y=0, I=0, содержащий конечное число полей. В калибровке Весса-Зумино в V⁺² остаётся стандартный N=2 калибровочный мультиплет (j(x), Аm(х), y_aⁱ(x), (x), D^{(i j)}(x))где j(x) - комплексное скалярное поле, А_m(х)- калибровочное поле, y_aⁱ, -дублет майорановских спиноров, D^{(i j)}(x)- триплет вспомогат. полей (для простоты индекс А опущен). Геом. суперполевая формулировка N=2 калибровочной теории может быть последовательно выведена из требования сохранения понятия грассмановой N=2 аналитичности (28) для гармонич. суперполей, принадлежащих к нетривиальным представлениям калибровочной группы [12]. Из аналогичного принципа исходит и геом. формулировка N=2 супергравитации, в к-рой осн. объектами являются компоненты аналитич. гармонич. репера (см. Супергравитация).

N=3 гармоническое суперпространство [13] возникает при добавлении к (i, j=1, 2, 3) 6-мерного внутр. пространства, в к-ром группа автоморфизмов N=3 супералгебры SU(3) реализуется как группа движений. N=3 теория Янга-Миллса допускает формулировку вне массовой поверхности в аналитич. подпространстве гармонич. N=3 С., имеющем 6 нечётных переменных. Соответствующие N=3 аналитич. калибровочные суперполя содержат бесконечное число как калибровочных, так и вспомогат. степеней свободы. Последнее обстоятельство оказывается решающим для преодоления N=3 "no-go" теоремы [11]. Из самого существования явно инвариантной суперполевой формулировки N=3 теории Янга-Миллса следует теорема о неперенормировке, к-рая даёт простое доказательство отсутствия УФ-расхо-димостей в N=3 калибровочной теории (на массовой поверхности эта теория совпадает с N=4 калибровочной теорией, ставшей первым примером теории поля без УФ-расходимостей).

Искривлённое суперпространство характеризуется нетривиальными супертензорами кручения и кривизны и служит естеств. ареной для теорий супергравитации.

Перспективы развития концепции С. связаны в первую очередь с применениями в теориях протяжённых объектов типа суперструны, где важную роль должны сыграть более сложные варианты гармонич. С. Есть основания надеяться, что в ближайшие годы будет достигнут также решающий прогресс в построении геом. суперполевых формулировок таких 4-мерных теорий, как N=4 теория Янга- Миллса, супергравитации с N>=3 и т. п.

Лит.: 1) Волков Д. В., Акулов В. П., О возможном универсальном взаимодействии нейтрино, "Письма в ЖЭТФ", 1972, т. 16, с. 621; 2) Salam A., Strathdee J., Super-gauge transformations, "Nucl. Phys.", 1974, v. 76B, p. 477; 3) Березин Ф. А., Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными, М., 1983; 4) Огиевецкий В. И., Мезинческу Л., Симметрии между бозонами и фермионами и суперполя, "УФН", 1975, т. 117, в. 4, с. 637; 5) Весе Ю., Беггер Дж., Суперсимметрия и супергравитация, пер. с англ., М., 1986; 6) Gates S. J., jr., et al., Superspace or one thousand and one lessons in supersymmetry, Reading (Mass.), .1983; 7) Sokatchev E., Projection operators and supplementary conditions for superfields with arbitrary spin, "Nucl. Phys.", 1975, v. 99 B, p. 96; 8) Siegel W., Gates S. J., jr., Superprojectors, "Nucl. Phys.", 1981, v. 189 B, p. 295; Rittenberg V., Sokatchev E., Decomposition of extended superfields into irreducible representations of supersymmetry, "Nucl. Phys.", 1981, v. 193 B, p. 477; 9) Гальперин А., Иванов E., Огиевецкий В., Грассманова аналитичность и расширение суперсимметрии, "Письма в ЖЭТФ", 1981, т. 33, с. 176; 10) Zumino В., Supersymmetry and Kahler manifolds, "Phys. Lett.", 1979, v. 87B, p. 203; 11) Siegel W., Rocek M., On off-shell supermultiplets, "Phys. Lett.", 1981, v. 105B, p. 275; Rivelles V. O., Taylor J. G., Off-shell no-go theorems for higher dimensional super-symmetries and supergravities, "Phys. Lett.", 1983, v. 121 B, p. 37; 12) Galperin A. [a. o. ], Unconstrained N= 2 matter, Yang-Mills and supergravity theories in harmonic superspace, "Class. Quant. Grav.", 1984, v. 1, p. 469; 13) Galperin A. [a. o.], Unconstrained off-shell N=3 supersymmetric Yang-Mills theory, "Class. Quant. Grav.", 1985, v. 2, p. 155; 14) Alvarez-Gaume L., Freedman D. Z., Geometrical structure and ultraviolet finiteness in the supersymmetric s-model, "Commun. Math. Phys.", 1981, v. 80, p. 443.

E. А. Иванов, В. И. Огиевецкий.

   <<      Предметный указатель      >>