Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
Самый длинный тоннель в мире
Готардский тоннель в Швейцарию
15 октября 2010 года маленькая страна Швейцария завершила пробивку самого длинного сухопутного тоннеля в мире. До этого момента рекорд принадлежал Японии. Тоннель Сайкан, протяженностью 53,8 км соединяет острова Хоккайдо и Хонсю. Длина знаменитого Ла-Манша 51 км. Готардский тоннель в Швейцарии стал рекордсменом во всех отношениях. Его длина составляет 57 километров. Далее...

Готардский тоннель

суперпространство

СУПЕРПРОСТРАНСТВО -расширенное пространство в теории суперсимметрии, к-рое кроме обычных пространственно-временных координат включает также спинорные координаты.

Спинорные переменные qa антикоммутируют друг с другом и коммутируют с координатами пространства-времени хm:

5004-18.jpg

и поэтому они могут рассматриваться как нечётные образующие нек-рой Грассмана алгебры, чётными образующими к-рой служат координаты xm. Отсюда название для qa- г р а с с м а н о в ы к о о р д и н а т ы. Антикоммутативность qa необходима для обеспечения правильной связи спина и статистики. Важное следствие антикоммутативности грассмановых переменных - их нильпотентность:

5004-19.jpg

Концепция С. играет ключевую роль в суперсимметрии [1-6]: группа преобразований суперсимметрии имеет естеств. реализацию в С. как группа его движений, а соответствующие супермультиплеты компактно представляются с у п е р п о л я м и [2] - ф-циями, заданными на С.

N-расширенная суперсимметрия Пуанкаре наиб. прямым образом может быть реализована в веществ. С. [1 - 6]:

5004-20.jpg

с 4 чётными координатами хm и 4N нечётными координатами 5004-21.jpg а, 5004-22.jpg=1, 2; i, j=1, 2, ..., N [5004-23.jpg, + - эрмитово сопряжение]. Нечётные координаты являются двухкомпонентными вейлевскими спинорами (1/2, 0) и (0, 1/2) Лоренца группы и преобразуются соответственно по кварковому (верх. латинский индекс) и антикварково-му (ниж. латинский индекс) представлениям унитарной группы автоморфизмов U(N)расширенной суперсимметрии.

Преобразования суперсимметрии над координатами С. (суперсдвиги) имеют вид

5004-24.jpg

где eai, 5004-25.jpg-антикоммутирующие спинорные параметры, sm=(I, s), s- Паули матрицы, I-единичная матрица. Генераторы суперсдвигов (4) представляются дифференц. операторами на С. (3):

5004-26.jpg

(5004-27.jpg ) и вместе с генератором трансляций Pm=iдm образуют алгебру N-расширенной суперсимметрии Пуанкаре:

5004-28.jpg

(где d ji-символ Кронекера). (Полная супералгебра Пуанкаре включает также алгебры группы Лоренца и группы автоморфизмов.)

У одной и той же супергруппы может быть неск. различных С., в к-рых она действует как группа движений. Напр., в случае N= 1 важную роль в физ. приложениях играет комплексное киральное (левое, L)С. 5004-29.jpg, содержащее в 2 раза меньше спинорных переменных, чем вещественное С. 5004-30.jpg,

5004-31.jpg

Оно содержит 5004-32.jpg как вещественную гиперповерхность.

Для плоского пространства условия вложения 5004-33.jpg в5004-34.jpg имеют вид

5004-35.jpg

При N> 1 также существуют киральные С. 5004-36.jpg, однако адекватными физ. теориями оказываются не они и не 5004-37.jpg , а а н а л и т и ч е с к и е г а р м о н и ч е с к и е С. (см. ниже).

Суперполя-ф-ции на С. [2,4-6]. Они представляют собой компактную форму записи супермультиплетов. Поля, составляющие супермультиплет, возникают как коэф. разложения суперполей по степеням грассмановых координат. Из-за нильпотентности последних эти разложения обрываются на конечном числе членов. Преобразования суперсимметрии замыкаются на суперполях вне массовой поверхности, т. е. без использования ур-ний движения. Необходимые для этой Цели в с п о м о г а т е л ь н ы е п о л я автоматически присутствуют в разложениях суперполей наряду с физ. полями. Это обеспечивает независимость вида преобразований суперсимметрии от рассматриваемой модели взаимодействуя.

Суперполе на С. 5004-38.jpg

5004-39.jpg

[где j(x)-скалярное, cai(х), 5004-40.jpg(х) - вейлевские спинорные поля ] содержит в общем случае 24N бозонных и столько же фермионных компонент (для вещественных суперполей это число уменьшается вдвое). Киральные суперполя, определённые на комплексном С. 5004-41.jpg или сопряжённом к нему, с необходимостью комплексны. Они содержат 25004-42.jpg2 степеней свободы (поскольку в них входят либо qai, либо5004-43.jpg). Компонентные поля, стоящие в суперполе в слагаемых с отличающейся на единицу степенью q, различаются спином или спиральностью на 1/2 и грассмановой чётностью. Преобразования суперсимметрии компактно представляются ф-лой

5004-44.jpg

Суперполе может иметь внеш. лоренцов индекс и индекс группы автоморфизмов суперсимметрии, а также индекс к--л. группы внутренней симметрии.

5004-45.jpg

5004-47.jpg

В общем случае суперполя содержат неск. супермультиплетов. Напр., вещественное N= 1 суперполе содержит скалярный и векторный [включающий векторное поле Аm(х)] супермультиплеты вне массовой поверхности (здесь j, F, D - произвольные скалярные поля, Аm и la, 5004-46.jpg - произвольные векторное и спинорные поля). Простейшим неприводимым суперполем является киральное N=1 суперполе описывающее скалярный N= 1 супермультиплет вне массовой поверхности. Этот супермультиплет включает в себя два вещественных поля-скалярное и псевдоскалярное: j(xL )5004-48.jpgA(xL) + iB(xL)(спин 0), спинор ya(xL) (спин 1/2) и два вещественных вспомогат. поля:

5004-49.jpg

Как и поля в пространстве Минковского, суперполя классифицируются по значениям соответствующих Казимира операторов, построенных из генераторов группы суперсимметрии [2, 4-8]. Квантовыми числами, имеющими смысл вне массовой поверхности, являются с у п е р-с п и н Y и с у п е р и з о с п и н I, к-рые обобщают понятия спина и изоспина обычных полей (число операторов супер-изоспина в общем случае равно рангу группы автоморфизмов). Суперспин данного супермультиплета совпадает с низшим значением спина у физ. компонентных полей. Напр., киральное суперполе (12) имеет Y=0, a N= 1 суперполе ФJ(x, q, 5005-1.jpg), неприводимое по спину J, содержит четыре неприводимых супермультиплета с Y=J- 1/2, J, J, J+ 1 /2. В частности, суперполе (11) содержит мультиплеты с суперспйнами 0 (дважды) и 1 /2. Простые правила подсчёта существуют и для суперизоспинов. Напр., суперизоспин неприводимого N=2 супермультиплета равен изоспину состояния с наивысшим спином [8 ].

Выделение из суперполей неприводимых представлений осуществляется, как и в случае обычных полей, либо наложением дополнит. условий (устраняющих лишние суперспины), либо за счёт требования калибровочной инвариантности. Чтобы условия неприводимости были ковари-антны относительно суперсимметрии, они должны строиться из ковариантных дифференц. операторов. Такими операторами являются ковариантные спинорные производные

5005-2.jpg

Они антикоммутируют с генераторами группы суперсимметрии (4) и образуют супералгебру, изоморфную (5):

5005-3.jpg

Простейшими и наиб. геометричными являются условия, линейные по спинорным производным, напр. условия N= 1 киральности, выделяющие в Ф(х, q,5005-4.jpg) неприводимые части с суперспином 0:

5005-5.jpg

или

5005-6.jpg

Условия такого типа выражают аналитичность по грассма-новым переменным (грассманову аналитичность) [9 ], т. к. они решаются через суперполя, определённые на С. с меньшим числом грассмановых образующих [в примере (15) - на N= 1 киральном С. ]. Принцип сохранения понятия грасс-мановой аналитичности лежит в основе суперполевой геометрии большинства известных суперсимметричных теорий (напр., полей Янга - Миллса, полей материи, супергравитации).

Возможны и условия более высокого порядка по спинорным производным. Напр., массивный векторный N= 1 супермультиплет (суперспин 1/2). выделяется условиями [2,4,7] к-рые следуют из соответствующих суперполевых ур-ний движения и содержат обычное условие поперечности для векторного поля дmАm(х) = 0. Таким же условиям (однако вне массовой поверхности) удовлетворяет и напряжённость тензорного N= 1 супермультиплета, включающего т.н. нотоф - калибровочный антисимметричный тензор, описывающий поле нулевой спиральности на массовой поверхности.

5005-7.jpg


Смысл условий (15) или (16) становится ясным, если вместо нарушающей явную суперсимметрию процедуры разложения суперполей на компонентные поля пользоваться ковариантным методом проекций [5]. Идея этого метода состоит в том, чтобы вместе с исходным суперпо-лем рассматривать и все его суперполевые проекции, получаемые действием на него всех возможных степеней спи-норных производных. Поскольку каждая такая проекция начинается с соответствующей компоненты разложения по q исходного суперполя, напр.:

5005-8.jpg

то их набор полностью эквивалентен набору исходных компонентных полей. Ковариантные условия типа (15) или (16) исключают, приравнивая нулю, все суперполевые проекции, кроме тех, к-рые составляют данный неприводимый супермультиплет.

Др. способ освободиться от лишних полей состоит в том, чтобы сделать их калибровочными. Так, вещественное скалярное N=1 суперполе (11) с калибровочной группой

5005-9.jpg

(где l - произвольная калибровочная суперфункция) описывает абелев калибровочный N= 1 супермультиплет [преобразования (17) включают обычное калибровочное преобразование векторного поля]. Он обладает суперспином 1/2, супермультиплеты с нулевыми суперспинами становятся чисто калибровочными и могут быть исключены выбором калибровки. Неприводимый состав таких калибровочных суперполей удобно анализировать, приравнивая нулю все компоненты, сдвигающиеся на произвольные ф-ции при калибровочных преобразованиях (в т.н. калибровке Вес-са - Зумино) [4-6]. Калибровка Весса - Зумино для суперполя (17) имеет вид

5005-10.jpg

Здесь Аm(х)и cb(x), 5005-11.jpg -поля фотона и фотино (суперсимметричного партнёра фотона), D(x) - вспомогат. поле. С учётом остаточной калибровочной инвариантности 5005-12.jpg [l(x)- калибровочная ф-ция] в суперполе (18) присутствуют 4 + 4 компоненты, составляющие калибровочный N=1 супермультиплет вне массовой поверхности.

Преимущества суперполевых формулировок. Осн. преимущество суперполевых формулировок суперсимметричных теорий над компонентными - наличие явной суперсимметрии вне массовой поверхности. Благодаря этому свойству наиб. полно выявляются замечат. геом. и квантовые следствия суперсимметрий. Как и в случае обычных полей, желательно, чтобы суперполя не были подвержены сторонним связям. Формулировки через суперполя без связей позволяют обнаруживать нетривиальные внутр. геометрии, присущие суперсимметричным теориям, они обладают простотой и элегантностью. Их главное практич. достоинство состоит в возможности построения инвариантной суперполевой теории возмущений, в рамках к-рой радикально упрощаются анализ сокращения квантовых расходимостей и доказательства конечности теории (открытие теорий поля, свободных от ультрафиолетовых расходимостей,- пока самое яркое достижение суперсимметрии). Доказательства конечности в суперполевом формализме основаны на общих теоремах о неперенормировке (отсутствии соответствующих суперполевых контрчленов [6]) и не требуют детальных расчётов диаграмм Фейн-мана.

Построение явно инвариантных геом. суперполевых формулировок суперсимметричных теорий вне массовой поверхности полностью завершено для случаев N= 1 и N=2. Существует также формулировка N=3 теории Янга - Миллса. Пока не найдено адекватного суперполе-вого описания N=4 теории Янга - Миллса и супергравитаций с N>=3. Остаётся пока нерешённой задача построения суперсимметричных теорий типа Калуцы - Клейна теории (в пространствах высоких размерностей) и полевых теорий протяжённых суперсимметричных объектов типа суперструны (см. Суперструны ).Теоретико-групповой и геом. основой всех известных инвариантных суперполевых формулировок служит принцип сохранения простейших представлений глобальной суперсимметрии при включении взаимодействия. Поскольку в большинстве случаев эти представления выделяются условиями грассмановой аналитичности типа (15), указанный принцип эквивалентен требованию сохранения той или иной грассмановой аналитичности.

Примеры теорий в N=1 суперпространстве [4-6]. Построение инвариантных суперполевых действий основано на том свойстве, что при преобразованиях суперсимметрии к высшим компонентам суперполей [D-компонента вещественного (11) и F-компонента кирального (12) N=1 суперполей] добавляется полная производная. Поэтому интеграл по d4x от высшей компоненты разложения по 0 плотности лангранжиана, построенной из суперполей и их производных (спинорных и обычных), является инвариантом.

Простой пример N=1 суперполевого действия-действие массивного кирального суперполя с самодействием j3:

5005-13.jpg

где использовано интегрирование по грассмановым переменным (интегрирование по Березину [3]), к-рое является удобным явно инвариантным способом выделения высших компонент из суперполевых лагранжианов. Грассманово интегрирование эквивалентно дифференцированию:

5005-14.jpg

После перехода к компонентам и исключения вспомогат. полей F(x) = F1(x) + iF2(x)с помощью ур-ний движения действие (19) сводится к выражению

5005-15.jpg

(где т - масса, g-безразмерная константа связи), т.е. к действию массивного комплексного скалярного поля Ф с само действиями j3 и j4 и массивного майорановского спинора5005-16.jpg, взаимодействующих посредством юкавских связей (метрика пространства Минковского выбрана в виде "+ - - -"). Явная N= 1 суперсимметрия действия (19) становится неявной в компонентном представлении (21). Она теперь выражается в равенстве масс бозонов и ферми-онов и в наличии единой константы связи.

Действие (19), (21) перенормируемо. Замечат. следствием его суперсимметрии является то, что вместо трёх независимых констант перенормировки, свойственных бозон-ной теории с самодействием j4, в нём появляется лишь одна такая константа (константа перенормировки волновой ф-ции). Этот факт является проявлением простейшего варианта теоремы о неперенормировке, к-рая следует из вида суперполевого действия (19) и явно инвариантной теории возмущений для киральных суперполей. Любой вклад в эфф. квантовое действие всегда локально представим интегралом по вещественному С. 5005-17.jpg, но не по5005-18.jpg Поэтому возможные суперполевые контрчлены всегда имеют структуру первого члена в действии (19), что приводит к появлению константы перенормировки только перед этим членом.

Само действие j3 - единств. перенормируемое самодействие киральных N= 1 суперполей [действие (19) можно обобщить на любое число таких суперполей].

Общий лагранжиан можно получить из (19) заменами

5005-19.jpg

где К и Р - произвольные вещественная и комплексная ф-ции своих аргументов. Он приводит к кэлеровской нелинейной сигма-модели для физ. бозонов [10] и имеет простой геом. смысл.

Др. важная модель - N= 1 калибровочная теория. Она описывается действием

5005-20.jpg

где Wa - киральная ковариантная спинорная напряжённость N= 1 калибровочного суперполя VA(x, q,5005-21.jpg):

5005-22.jpg

Здесь ТА - генераторы калибровочной группы (А - индекс присоединённого представления группы). Трансформац. закон (24) в абелевом пределе сводится к (17), поэтому в VA(5005-23.jpg, q, 5005-24.jpg) можно перейти к калибровке Весса-Зумино (18). В этой калибровке действие (22) переписывается в компонентах следующим образом:

5005-25.jpg

где Gmv5005-26.jpgGAmvTA- обычная напряжённость поля Янга- Миллса и (Dm5005-27.jpg)5005-28.jpg-ковариантная производная в присоединённом представлении. Калибровочное N=1 суперполе VA и суперполевая формулировка N=1 калибровочной теории могут быть выведены из требования, чтобы понятие киральности (15) сохраняло свой смысл для суперполей, принадлежащих к нетривиальным представлениям калибровочной группы. Тот же фундам. принцип сохранения киральности (т. е. N=1 грассмановой аналитичности) лежит в основе геом. формулировок N= 1 супергравитации.

Гармоническое суперпространство. Попытки описания суперсимметричных теорий с N>=2 в С. 5005-29.jpg или 5005-30.jpg сталкиваются с существ. трудностями. Осн. трудность состоит в том, что соответствующие суперполя содержат много лишних супермультиплетов и для их устранения приходится либо налагать сторонние связи, либо прибегать к сложным калибровочным группам негеом. происхождения. Более того, существуют т. н. "no-go" теоремы- теоремы о невозможности построения формулировок ряда теорий с расширенной суперсимметрией (напр., калибровочных теорий с N=3, 4) вне массовой поверхности на основе конечного числа вспомогат. полей [11].

Адекватное геом. описание теорий с расширенной суперсимметрией достигается в рамках гармонич. С. Они получаются добавлением к обычным координатам {хm, qai, q-a.j} дополнит. чётных координат, параметризующих пространства групп автоморфизмов.

Гармоническое N=2 суперпространство [12]

5005-31.jpg

включает двумерную сферу S2, на к-рой группа автоморфизмов N=2 супералгебры SU(2) действует как группа движений и для описания к-рой используются изоспинор-ные гармоники (b - U(1)-заряды). Они определены с точностью до произвольной фазы U(1) и, т. о., содержат два независимых параметра, характерных для двумерной сферы. В С. (26) имеется нетривиальное подпространство - а н а л и т и ч ес к о е г а р м о н и ч е с к о е с у п е р п р о с т р а н с т в о замкнутое относительно N=2 суперсимметрии В С. (27) можно определить операцию сопряжения (отличную от обычного комплексного сопряжения), относительно к-рой (27) вещественно. Соответственно заданные на нём суперполя (аналитич. гармонич. суперполя) могут выбираться вещественными.

5005-32.jpg


5005-33.jpg

5005-34.jpg


Аналитич. С. (27) играет фундам. роль в N=2 суперсимметрии: все N=2 теории (теории материи, Янга-Миллса, супергравитации) формулируются явно инвариантным геом. образом на языке аналитич. N = 2 суперполей, свободных от сторонних связей [12]. Аналитич. суперполя Ф(q) характеризуются U(1)-зарядом q (наряду с возможным лоренцевым индексом) и являются решением условий грассмановой N=2 аналитичности:

5005-35.jpg

Они содержат бесконечное число N=2 супермультиплетов с одним и тем же суперспином и нарастающими суперизо-спинами, связанными с q ф-лой

5005-36.jpg

Бесконечное число полей с нарастающими изоспинами в j(q) обусловлено зависимостью j(q) от гармонич. переменных ubi, разложение по к-рым является гармонич. разложением на сфере S2. Физ. поля N=2 теорий входят в мультиплеты с низшими суперизоспинами, а бесконечный набор высших супермультиплетов оказывается либо вспомогательными, либо калибровочными степенями свободы.

Бесконечное число вспомогат. полей - принципиально новая черта теорий в гармонич., С. Благодаря этому свойству удалось преодолеть ряд ''no-go'' теорем и построить формулировки вне массовой поверхности для N=2 гипермультиплетов (см. ниже) материи (в плоском и искривлённом С.) и для N=3 теории Янга-Миллса (в аналитич. гармонич. N=3 С. [13]).

Примеры N=2 теорий. Осн. супермультиплет N=2 материи- г и п е р м у л ь т и п л е т. Он отвечает значениям суперспина Y=0 и суперизоспина I=1/2 и на массовой поверхности состоит из SU(2)- дублета скалярных полей ji(x) и дираковского изосинглетного поля фермиона ya(x), 5005-37.jpg . Вне массовой поверхности гипермультиплет описывается аналитическим N = 2 суперполем q+ (z, и)[12]:

5005-38.jpg

где точками обозначены поля с высокими изоспинами, возникающие из гармонич. разложений коэффициентов при членах с разными степенями 6. Инвариантное действие свободного гипермультиплета в плоской N=2 суперсимметрии даётся интегралом по С. (27):

5005-39.jpg

где du - мера интегрирования на сфере S2, DA+2- сохраняющая аналитичность гармонич. производная,

5005-40.jpg

Лангранжева плотность в (30) имеет U(1)-заряд q=+4, т.к. мера интегрирования имеет U(1)-заряд q=-4. Из действия (30) следует ур-ние движения

5005-41.jpg

к-рое приравнивает нулю весь бесконечный набор вспомогат. полей с высшими изоспинами в q+, одновременно приводя к правильным ур-ниям движения для физ. полей. Наиб. общее самодействие гипермультиплетов получается добавлением к лангранжиану в (30) произвольной ф-ции V+4(q+ ,5005-42.jpg+ , u+зарядом q= + 4. В секторе физ. полей при этом возникает нелинейная сигма-модель (отвечающая ги-перкелеровым многообразиям [14]).

В N=2 калибровочной теории осн. суперполем является вещественная аналитич. гармонич. связность V(+2)(z, и):

5005-43.jpg

через к-рую выражаются все остальные геом. объекты теории. Бесконечный набор "лишних" супермультиплетов с суперизоспинами I=1, 2, 3, ... в V+2 устраняется калибровочной группой (32), в итоге остаётся лишь калибровочный N=2 супермультиплет вне массовой поверхности с Y=0, I=0, содержащий конечное число полей. В калибровке Весса-Зумино в V+2 остаётся стандартный N=2 калибровочный мультиплет (j(x), Аm(х), yai(x), 5005-44.jpg(x), D(i j)(x))где j(x) - комплексное скалярное поле, Аm(х)- калибровочное поле, yai, 5005-45.jpg-дублет майорановских спиноров, D(i j)(x)- триплет вспомогат. полей (для простоты индекс А опущен). Геом. суперполевая формулировка N=2 калибровочной теории может быть последовательно выведена из требования сохранения понятия грассмановой N=2 аналитичности (28) для гармонич. суперполей, принадлежащих к нетривиальным представлениям калибровочной группы [12]. Из аналогичного принципа исходит и геом. формулировка N=2 супергравитации, в к-рой осн. объектами являются компоненты аналитич. гармонич. репера (см. Супергравитация).

N=3 гармоническое суперпространство [13] возникает при добавлении к 5005-46.jpg (i, j=1, 2, 3) 6-мерного внутр. пространства, в к-ром группа автоморфизмов N=3 супералгебры SU(3) реализуется как группа движений. N=3 теория Янга-Миллса допускает формулировку вне массовой поверхности в аналитич. подпространстве гармонич. N=3 С., имеющем 6 нечётных переменных. Соответствующие N=3 аналитич. калибровочные суперполя содержат бесконечное число как калибровочных, так и вспомогат. степеней свободы. Последнее обстоятельство оказывается решающим для преодоления N=3 "no-go" теоремы [11]. Из самого существования явно инвариантной суперполевой формулировки N=3 теории Янга-Миллса следует теорема о неперенормировке, к-рая даёт простое доказательство отсутствия УФ-расхо-димостей в N=3 калибровочной теории (на массовой поверхности эта теория совпадает с N=4 калибровочной теорией, ставшей первым примером теории поля без УФ-расходимостей).

Искривлённое суперпространство характеризуется нетривиальными супертензорами кручения и кривизны и служит естеств. ареной для теорий супергравитации.

Перспективы развития концепции С. связаны в первую очередь с применениями в теориях протяжённых объектов типа суперструны, где важную роль должны сыграть более сложные варианты гармонич. С. Есть основания надеяться, что в ближайшие годы будет достигнут также решающий прогресс в построении геом. суперполевых формулировок таких 4-мерных теорий, как N=4 теория Янга- Миллса, супергравитации с N>=3 и т. п.

Лит.: 1) Волков Д. В., Акулов В. П., О возможном универсальном взаимодействии нейтрино, "Письма в ЖЭТФ", 1972, т. 16, с. 621; 2) Salam A., Strathdee J., Super-gauge transformations, "Nucl. Phys.", 1974, v. 76B, p. 477; 3) Березин Ф. А., Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными, М., 1983; 4) Огиевецкий В. И., Мезинческу Л., Симметрии между бозонами и фермионами и суперполя, "УФН", 1975, т. 117, в. 4, с. 637; 5) Весе Ю., Беггер Дж., Суперсимметрия и супергравитация, пер. с англ., М., 1986; 6) Gates S. J., jr., et al., Superspace or one thousand and one lessons in supersymmetry, Reading (Mass.), .1983; 7) Sokatchev E., Projection operators and supplementary conditions for superfields with arbitrary spin, "Nucl. Phys.", 1975, v. 99 B, p. 96; 8) Siegel W., Gates S. J., jr., Superprojectors, "Nucl. Phys.", 1981, v. 189 B, p. 295; Rittenberg V., Sokatchev E., Decomposition of extended superfields into irreducible representations of supersymmetry, "Nucl. Phys.", 1981, v. 193 B, p. 477; 9) Гальперин А., Иванов E., Огиевецкий В., Грассманова аналитичность и расширение суперсимметрии, "Письма в ЖЭТФ", 1981, т. 33, с. 176; 10) Zumino В., Supersymmetry and Kahler manifolds, "Phys. Lett.", 1979, v. 87B, p. 203; 11) Siegel W., Rocek M., On off-shell supermultiplets, "Phys. Lett.", 1981, v. 105B, p. 275; Rivelles V. O., Taylor J. G., Off-shell no-go theorems for higher dimensional super-symmetries and supergravities, "Phys. Lett.", 1983, v. 121 B, p. 37; 12) Galperin A. [a. o. ], Unconstrained N= 2 matter, Yang-Mills and supergravity theories in harmonic superspace, "Class. Quant. Grav.", 1984, v. 1, p. 469; 13) Galperin A. [a. o.], Unconstrained off-shell N=3 supersymmetric Yang-Mills theory, "Class. Quant. Grav.", 1985, v. 2, p. 155; 14) Alvarez-Gaume L., Freedman D. Z., Geometrical structure and ultraviolet finiteness in the supersymmetric s-model, "Commun. Math. Phys.", 1981, v. 80, p. 443.

E. А. Иванов, В. И. Огиевецкий.


  Предметный указатель