твистор

ТВИСТОР - прямая во вспомогательном комплексном трёхмерном проективном пространстве Т, используемом для реализации Минковского пространства-времени. Понятие Т. введено Р. Пенроузом (R. Penrose) в кон. 1960-х гг. Многообразие всех комплексных прямых в Т зависит от 4 комплексных параметров; точкам пространства Минковского отвечает нек-рое их подмножество (см. ниже), зависящее от четырёх вещественных параметров. Нетривиальным является привлечение комплексной геометрии (тви-сторного пространства) для работы с вещественным пространством-временем.

Множество всех прямых в Т интерпретируется как ком-плексифицированное и (конформно) компактифицированное пространство Минковского. Оно представляет самостоят. интерес в связи с аналитич. продолжением тех или иных физ. величин, первоначально заданных на пространстве Минковского, в комплексную область (напр., в трубу будущего или прошлого). Евклидово четырёхмерие так же естественно реализуется, как нек-рое множество прямых в твисторном пространстве, в результате чего на твистор-ном языке удобно говорить о переходе от лоренцовых теорий к евклидовым (см. Евклидова квантовая теория поля). На языке прямых инвариантный геом. смысл имеет конформная структура на пространстве Минковского: точки находятся на нулевом расстоянии (их соединяет световой луч) тогда и только тогда, когда соответствующие им прямые в твисторном пространстве пересекаются.

Фундаментальная идея Пенроуза заключается в том, что первичной физ. структурой является не структура 4-мерного пространства-времени (Минковского), а комплексное твисторное трёхмерие Т. Соответственно твисторные эквиваленты физ. величин должны допускать более простое описание, чем сами эти величины. По этой идеологии нек-рые физ. полевые ур-ния имеют чисто аналитич. природу: аналоги физ. величин, первоначально заданные как аналитич. объекты на трёхмерии (твисторах), путём какого-то варианта интегрирования по прямым переносятся на четырёхмерие М. При интегральном преобразовании аналитич. объектов от трёх комплексных переменных в аналитич. объекты от четырёх вещественных переменных должно возникать одно ур-ние на образ преобразования. На возможности такой интерпретации физ. полевых ур-ний и основана твисторная программа Пенроуза.

Простейшую реализацию твисторной программы дают ур-ния, описывающие безмассовые поля (в зависимости от спина это или скалярное волновое ур-ние, или система ур-ний Максвелла, или ур-ние Дирака - Вейля, или линеаризованное ур-ние Эйнштейна и т. д.). Безмассовым полям на твисторном пространстве отвечают решения нек-рых обобщений системы ур-ний Коши-Римана (д-кого-мологии). Хотя этот матем. объект и не является элементарным, для его изучения имеется развитый аппарат в комплексном анализе, и возникает поучительный и нетривиальный пример применения комплексного анализа к изучению вещественных дифференц. ур-ний. Эти результаты носят скорее характер иллюстрации общей идеи Пенроуза, поскольку они не выходят за пределы новых представлений решений линейных дифференц. ур-ний с постоянными коэффициентами.

Однако Т. оказались полезны при изучении нелинейных физ. ур-ний. Р. Уорд (R. Ward) и М. Атья (М. Atiyah) применили язык Т. к построению инстантонов - автодуальных решений ур-ния Янга-Миллса (см. Янга-Мил-лса поля). Инстантоны (решения ур-ния дуальности) рассматриваются на евклидовом четырёхмерии. На твисторном многообразии им отвечают комплексные векторные расслоения. Эта связь позволила, в конечном счёте, дать описание инстантонов [теорема Атьи-Хитчина (N. Hitchin) - Дринфельда-Манина]. Язык Т. оказался удобен также для изучения др. класса решений ур-ния Янга-Миллса - магнитных монополей.

Ещё одно направление в применении Т. связано с рассмотрением искривлённого пространства-времени. Плоское пространство-время интерпретируется как многообразие прямых, поэтому естественно ожидать, что какие-то его искривлённые версии могут быть реализованы как нек-рые многообразия кривых на трёхмерных комплексных многообразиях. Многообразия с римановой метрикой, удовлетворяющей ур-нию Эйнштейна в вакууме и дополнительному (конформному) условию автодуальности, канонически реализуются как многообразия кривых на искривлённом твисторном трёхмерном многообразии. Условие автодуальности состоит в том, что автодуальная часть тензора Вейля равна нулю. Пенроуз явно описал геом. структуры на искривлённом твисторном многообразии, эквивалентные автодуальным решениям ур-ния Эйнштейна (право-плоским метрикам). Осн. момент состоит в том, что семейство кривых в окрестности каждой кривой эквивалентно семейству прямых с точностью до малых 3-го порядка малости. Твисторное описание позволило построить большое число явных решений ур-ния Эйнштейна (автодуальных).

Приведём теперь нек-рые явные ф-лы. Пусть Т=Р³- трёхмерное комплексное проективное пространство. Введём в нём однородные координаты z = (z₀, z_l, z₂, z₃), т. е. zне=(0, 0, 0, 0); координаты z = (z₀, z_l, z₂, z₃) и lz = (lz₀, lz₁, lz₂, lz₃) отвечают одной и той же точке Р³ = T. Прямые l в T можно задавать парой их точек (z, w), zlw; их множество М зависит от 4 комплексных параметров. На М возникает комплексная конформная структура из условия, что прямые, пересекающие прямую l, находятся от неё на нулевом расстоянии [образуют комплексный световой конусV(l)с вершиной в l].

Рассмотрим в Т вещественную гиперповерхность (эрмитову квадрику) T₀, задаваемую ур-нием

Поверхность Т₀ делит Т на 2 области Т_b, где форма H соответственно положительна (отрицательна). Тогда множество прямых, целиком лежащих на Т₀, зависит от 4 вещественных параметров и относительно указанной конформной структуры является конформной компакти-фикацией пространства Минковского. Для l конусы V(l) =V(l)прямых из , пересекающих l, являются световыми конусами. Чтобы получить обычное пространство Минковского М, надо фиксировать нек-рую прямую на T₀ (напр., задаваемую ур-ниями z₀ = z₂, z₁=z₃) и выбросить V() из (т. е. М состоит из прямых на Т₀, не пересекающих ). Прямые, лежащие в областях Т_b, соответственно образуют на М трубы будущего и прошлого.

Чтобы вложить в М евклидово компактифицированное (конформно) четырёхмерие - сферу S⁴, рассмотрим в Т множество прямых, соединяющих точки вида (z₀, z_l, z₂, z₃) и ( ). Такие прямые либо не пересекаются, либо совпадают. Т. о. возникает разбиение Т=Р³ на непересекающиеся прямые (расслоение).

Легко проследить действие групп на все определённые выше геом. объекты. На многообразие прямых М переносится действие группы SL(4, ) проективных преобразований пространства Т=Р³. Очевидно, что они являются автоморфизмами конформной структуры, определённой на М. Подгруппа SU(2; 2) проективных преобразований, сохраняющих квадрику Т₀, индуцирует группу конформных преобразований пространства Минковского. Подгруппа в SU(2; 2), сохраняющая прямую , порождает Пуанкаре группу движений пространства Минковского М. Если рассмотреть в SU(2; 2) подгруппу, сохраняющую не только прямую , но и ещё одну прямую l₀, не пересекающую и лежащую на Т₀ (напр., z₀=- z₂, z₁= - z₃), то на М получим классич. представление Лоренца группы.

Если в Р³ вместо 4-параметрического семейства прямых рассмотреть 8-параметрическое семейство кривых 2-го порядка, то в нём можно описать подсемейства (зависящие от 4 вещественных параметров), на к-рых реализуются автодуальные решения ур-ния Эйнштейна и для этих метрик можно дать явные выражения.

Теория Т. не только позволила применить новый матем. аппарат к разл. задачам теоретич. и матем. физики, но и имела серьёзное обратное влияние на математику, прежде всего в области 4-мерной топологии.

Лит.: Твисторы и калибровочные поля. Сб. ст., пер. с англ., М., 1983; Гиндикин С. Г., Комплексный мир Роджера Пенроуза, в сб.: Математика сегодня, К., 1983, с. 16; Пенроуз Р., Ринд-лер В., Спиноры и пространство-время, пер. с англ., М., 1988.

С. Г. Гиндикин.

   <<      Предметный указатель      >>