тензорный анализ

ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ -матем. теория, изучающая объекты спец. рода-тензорные поля (см. Тензор).

Необходимость применения Т. а. возникает, когда для изучения того или иного физ. явления (относительно к-рого имеется полная система непротиворечивых данных для создания абстрактных моделей в матем. терминах) приходится привлекать метод координат. Координатный метод позволяет параметризовать модель при помощи конечного или бесконечного числа параметров (координат), к к-рым можно применять те или иные матем. операции. Выводы, полученные в результате этих операций над параметрами, должны иметь объективный смысл и характеризовать свойства изучаемого явления, не зависимые от использованного нами способа параметризации, т--е., как говорят, эти выводы должны быть инвариантными относительно выбора системы координат.

При изучении конкретных задач выбор системы координат не всегда безразличен. Часто благодаря удачному выбору координатной системы значительно упрощаются выкладки, соотношения приобретают простую форму, и это облегчает установление искомых свойств изучаемых объектов. Одна из гл. задач Т. а. состоит в том, чтобы найти критерии, позволяющие выявить инвариантность тех или иных выражений, составленных при помощи параметров спец. систем координат.

В физике чаще всего рассматриваются тензорные поля, зависящие от точки трёхмерного евклидова пространства (в механике, теории упругости, электродинамике и т. д.) либо от точки четырёхмерного псевдоевклидова пространства (см. Минковского пространство-время)(в теории относительности, теории поля и т. д.). Однако т.н. теорема о существовании локальных гомеоморфизмов в многомерных областях позволяет строить Т. а. на многообразиях (см. Многообразие)любого (конечного) числа измерений.

Физ. примерами скалярных полей, т. е. тензорных полей ранга 0, являются: темп-pa неравномерно нагретого тела, потенциал неоднородного эл--статич. поля, плотность неоднородного тела, давление в неоднородной газовой среде. В качестве примеров векторных полей, т. е. тензорных полей ранга 1, можно рассматривать четырёхмерный вектор эл--магн. поля или четырёхмерный вектор плотности тока.

Над тензорными полями можно осуществлять те же алгебраич. действия, что и над тензорами, имея в виду, что все тензорные поля берутся в одной и той же точке.

В Т. а. в осн. изучаются дифференц. операции над тензорными полями. При этом требуются такие обобщения этих операций, к-рые при применении к тензорным полям сохраняют их тензорную структуру.

Частные производные компонент тензорного поля по координатам xⁱ уже не являются, вообще говоря, тензорным полем. Это связано с тем, что при переходе от одной точки к другой изменяются не только компоненты тензора (для простоты иногда тензорное поле будем называть тензором), но и локальная координатная система, в к-рой определяются эти компоненты. Поэтому разность между "значениями" тензора в точках (х¹ +dx¹,.,.,xⁿ + dxⁿ)и(x¹,...,xⁿ)не может быть определена как бесконечно малое приращение тензорного поля или его дифференциал. Вместо этого в Т. а. определяется а б с о л ю т н ы й д и фф е р е н ц и а л DT тензора Т с дифференцируемыми компонентами, удовлетворяющий постулатам:

1) абс. дифференциал DT является тензором того же ранга, что и Т;

2)имеют место след. правила дифференцирования

где (АВ)-внеш. произведение тензоров А и В. Если тензор Т задаётся в римановом пространстве дифференцируемыми компонентами то компоненты его абс. дифференциала определяются ур-ниями

где -ковариантная производная тензора Т,

здесь Г ⁱ_jk - Кристоффеля символы второго рода, связанные с метрич. тензором след. образом:

Отметим, что сами символы Кристоффеля не являются тензорами.

Нахождение ковариантной производной наз. ковариант-ным дифференцированием. Ковариантная производная тензорного поля образует тензорное поле, имеющее на один ковариантный индекс больше, чем исходное поле. Напр., если t_i(x¹, ...,хⁿ)- ковариантное тензорное поле ранга 1, т. е. ковариантное векторное поле, то ковариантная производная этого тензора

и является ковариантным тензором ранга 2. Если tⁱ (x¹, . ..,x^k) - контравариантное тензорное поле ранга 1, т. е, контравариантное векторное поле, то его ковариантная производная

и является контравариантным тензором ранга 1 и ковариантным тензором ранга 1, Правила ковариантного дифференцирования для суммы и произведения тензоров совпадают с правилами обычного дифференцирования, Коварй-антное дифференцирование перестановочно со свёртыванием.

В декартовых прямоуг. координатах (где символы Кри-стоффеля равны нулю) и для скалярного поля ковариант-ная производная совпадает с обычной.

Ковариантное дифференцирование на римановых многообразиях некоммутативно. Напр., для любого вектора с компонентами tⁱ, вообще говоря, т, к, где Rⁱ_ljk - тензор Римана -Кристоффеля (кривизны тензор)риманова пространства.

Для риманова пространства с фундам. метрич. тензором g_ik выполняются соотношения (теорема Риччи), где g=det||g_ik||, т. е. фундам. тензоры ведут себя как константы относительно ковариантного дифференцирования.

Важную роль в Т. а. играет понятие инварианта. И нв а р и а н т о м наз. выражение, составленное из величин, зависящих от выбора системы координат, к-рое не изменяет своего значения и структуру при замене одних координат другими.

Т. а. был построен в 19 в. в осн. итал. математиками Г. Риччи и Т. Леви-Чивитой. Быстрое развитие тензорного анализа в 20 в. было стимулировано созданием А. Эйнштейном общей теории относительности, матем. аппаратом к-рой является тензорное исчисление.

Лит.: Кочин H. E., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 9 изд., М., 1965; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М,, 1967; Мак-Коннел А. Д., Введение в тензорный анализ, пер. с англ., М., 1963; Схоутен Я--А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Сокольников И. С., Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред, пер. с англ., М., 1971; Векуа И. Н., Основы тензорного анализа и теории ковариантов, М., 1978. С. И. Азаков.

   <<      Предметный указатель      >>