термодинамическая теория возмущений

Т. т. в. основана на формальной аналогии между Шрёдин-гера уравнением для волновой ф-ции системы и Блоха уравнением для статистич. оператора r квантового кано-нич. (или большого канонич.) распределения Гиббса для той же системы. Ур-ние Блоха дr/дb = - Hr с нач. условием r|_b=0 = 1 получается из ур-ния Шрёдингера формальной заменой времени t на мнимое время hb/i, В рамках Т. т. в. решение для r, согласно Т. Мацубаре [1], ищется в виде r = r₀S(b) с нач. условием S(0)=1, где S(b) - т.н. т е мп е р а т у р н а я S-м а т ри ц а, имеющая вид, аналогичный матрице рассеяния в квантовой механике:

или

где - гамильтониан в представлении взаимодействия по мнимому времени, P-оператор "хронологич." упорядочения по мнимому времени (b₁ >b₂>...> b_n). Тогда для канонич. (или соответственно большой канонич.) статистич. суммы данной системы Z = exp(-bF)имеем

где введены обозначения Z₀ = Spr₀ = exp( - bF₀), <...>₀=Z₀^-1Sp(r₀ ...) - термодинамич. среднее для свободной (невозмущённой) системы. Вычисление Z существенно упрощается благодаря наличию для <S(b)>₀ теоремы о разложении по т.н. с в я з н ы м с р е д н и м (кумулянтам), приводящей к экспоненциальной ф-ле <S(b)>₀ = exp<S(b)>_0,c,где с - индекс связности. Тогда, логарифмируя (2), находим, что искомая добавка F₁ к свободной энергии F₀ невозмущённой системы имеет вид:

Эфф, вычисление связных средних в каждом порядке разложения (1) для S(b) (а также частичное суммирование к--л. подпоследовательностей членов этого разложения) проводится, как правило, с использованием графич. техники, вполне аналогичной технике Фейнмана диаграмм, где вместо причинных ф-ций Грина, характерных для квантовой теории поля, применяются т.н. м а ц у б а р о в с к и е ф-ц и и Г р и н а (см. Грипа функция в с т а т и с т и ч. ф и з и -к е). В рамках Т. т. в. имеет место теорема (Уорд и Лат-тинжер [2]) о стационарности (точнее, минимальности) функционала свободной энергии F по отношению к вариациям полной ф-ции Грина или массового оператора; частный случай этой теоремы, соответствующий обобщённому среднего поля приближению, эквивалентен т. н. с т а т и с т и ч е с к о м у в а р и а ц и о н н о м у п р и н ц и п у H. H. Б о г о л ю б о в а (1956), согласно которому Согласно этой теореме, для F₁ может быть получено формальное замкнутое выражение в виде т.н. и н т е г р а л а п о к о н с т а н т е с в я з и (см., напр., [4, 7]), через полную электронную ф-цию Грина G_l. и соответствующий массовый оператор М_l или через полную фононную ф-цию Грина D_l и соответствующий поляризац. оператор П_l след, вида (в символич. записи):

Практич. вычисление слагаемых, входящих в осн. ф-лы Т. т. в. (1) и (3), основано обычно на записи гамильтониана взаимодействия H₁ в представлении вторичного квантования с помощью ферми-, бозе- или паули-операторов. Соответственно при вычислениях средних в (3) и (1) используется температурное обобщение Вика теоремы о спариваниях, доказанное К. Блохом и Де Доминисисом [3 ] для ферми- и бозе-операторов и С. В. Тябликовым и В. А. Москаленко [5] - для паули-операторов. Построение Т. т. в. для классич. физ. систем существенно упрощается по сравнению с квантовыми благодаря тому, что для коммутирующих в этом случае при любых значениях b_i сомножителей величина S(b) превращается из хронологич. Р-экспоненты в обычную, для к-рой кумулянты F₁⁽ⁿ⁾ любого порядка вычисляются значительно проще; напр., в первом порядке по взаимодействию , а во втором F²₁ = ( - l²b/2)<(- <>₀)²>₀. Существует обобщение Т. т, в. на случай возмущений , явно зависящих от времени t (напр., при вычислении ф-ций линейной реакции системы на такое возмущение, а также кинетич. коэффициентов, согласно Грина-Кубо формулам). В этом случае при построении аналога S-матрицы для неравновесного статистич. оператора используется как мнимое, так и обычное время, так что соответствующая диаграммная техника значительно усложняется (см., напр., Л. Каданов, Г. Бейм [6]).

Примеры применения Т. т. в. для разл. типов физ. систем (напр., для неидеальных газов низкой плотности с ко-роткодействием - т.н. г а з о в о е п р и б л и ж е н и е или для системы частиц с дальнодействующим кулоновским взаимодействием- т.н. п л а з м е н н о е п р и б л и ж е н и е) подробно рассмотрены в монографии [7] (см. также в ст. Вириальное разложение, Майера диаграммы в статистич. физике). Т. т. в. широко используется также для анализа физ. свойств систем, описываемых спиновым гамильтонианом, выше критич. точки фазового перехода; напр., для сильно магнитных систем [8 ] строятся т. н. в ы с о к о т е мп е р а т у р н ы е р а з л о ж е н и я для намагниченности, восприимчивости и т. п., к-рые затем анализируются методом Паде аппроксимации с целью нахождения критических показателей.

Лит.: 1) Matsubara Т., A new approach to quantum-statistical mechanics, "Progr. Theoret. Phys.", 1955, v. 14, p. 351; 2) Luttinger J. M., Ward J. C., Ground-state energy of the many-fermion system, "Phys. Rev.", 1960, v. 118, p. 1417; 3) BlochC., De DominicisC., Undeveloppement du potentice de Gibbs nombre de porticuels, "Nucl. Phys.", 1958, v. 7, p. 459; 4) Бонч-Бруевич В. Л., Тябликов С. В., Метод функций Грина в статистической механике, М-, 1961, 12; 5) Тябликов С. В., Москаленко В. А., Теорема о статистических средних для паули-операторов, "ДАН СССР", 1964, т. 158, с. 839; 6) Каданов Л., Бейм Г., Квантовая статистическая механика, пер. с англ., М., 1964; 7) Абрикосов А. А., Горько в Л. П., Дзялошинский И. Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962; 8) Тябликов С. В., Методы квантовой теории магнетизма, 2 изд., М., 1975. Ю. Г, Рудой.

   <<      Предметный указатель      >>