тета-функция

ТЕТА-ФУНКЦИЯ (q-функция) -1) обобщённая ф-ция

(ф-ция Хевисайда). Производная Т,-ф. равна дельта-функции q'(x) = d(x). 2) Квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т.е. ф-ция q(z), имеющая кроме периода w ещё квазипериод wт, Imt>0, при прибавлении к-рого к значению аргумента значение ф-ции умножается на нек-рый мультипликатор f (z). Иначе говоря, имеют место тождества по z:

Как периодическая целая ф-ция, Т--ф. всегда представима рядом

в к-ром подбор коэффициентов с_n должен обеспечивать сходимость. Ряды (1) наз. т е т а-р я д а м и (по причине первонач. обозначений). Возможны и иные представления Т--ф., напр. в виде бесконечного произведения.

В приложениях обычно ограничиваются мультипликаторами вида

где k - натуральное число, наз. п о р я д к о м или в е с о м Т--ф., q - числовой множитель. Сходимость обеспечивается, напр., коэффициентами вида

Во мн. вопросах удобны Т--ф., удовлетворяющие условиям

Все Т--ф. вида (2) одного и того же порядка k составляют векторное пространство размерности k. Базис этого пространства можно записать в виде

Отд. примеры Т--ф. встречаются уже в работах Я. Бернул-ли (J. Bernoulli, 1713), Л. Эйлера (L. Euler), в теории теплопроводности Ж. Фурье (J. Fourier). K. Якоби (С. Jacobi) подверг Т--ф. систематич. исследованию, выделил четыре специальные Т--ф., к-рые и положил в основу своей теории эллиптических функций.

Т--ф. Якоби q₀ (z), q₁ (z), q₂(z), q₃(z) представляют собой след. ряды, абсолютно и равномерно сходящиеся на компактах плоскости комплексного переменного z:

Эти ряды достаточно быстро сходятся. Обозначения q₀(Z), q₁(z), q₂(z), q₃(z) восходят к К. Вейерштрассу (К. Weierstrass). Вместо q₀(z) часто пишут q₄(z), имеются и др. системы обозначений.

Все Т--ф. Якоби представляют собой целые трансцендентные ф-ции комплексного переменного z, причём q₁(z) - нечётная ф-ция, а остальные ф-ции q₀(z), q₂(z), q₃(z) - чётные.

Имеют место след. соотношения периодичности:

из к-рых вытекает, что Т--ф. Якоби являются эллиптич. ф-циями III рода по Эрмиту.

Т--ф. Якоби связаны между собой ф-лами преобразования:

Все четыре Т--ф. удовлетворяют одному и тому же диффе-ренц. ур-нию:

Существуют также обобщения Т--ф. на случай многих комплексных переменных. В физике Т--ф. естественно возникают, в частности, в определении меры интегрирования функционального интеграла в струн теории.

Лит.: Уиттекер Э--Т., Ватсон Дж--Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, M., 1963; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, [пер. с нем.], M., 1968. E. Д. Соломенцев.

   <<      Предметный указатель      >>