топологические квантовые теории поля

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ - квантовомеханич. или квантовополевые теории, все корреляционные функции в к-рых не зависят от выбора координат и метрики как в пространстве-времени, так и в др. пространствах, участвующих в определении теории. Это позволяет использовать корреляционные функции в качестве характеристик топологии (топологич. инвариантов) указанных пространств. Наиб. удобный способ задания и исследования широкого класса T. к. т. п.- функциональный интеграл с классич. действием, не зависящим от координат и метрик. Необходимым требованием к такой теории является также инвариантность меры в функциональном интеграле, в частности отсутствие квантовых аномалий.

Исторически первый пример T. к. т. п.- теория антисимметричных тензорных полей, рассмотренная А. Шварцем (1978). В общем виде идея T. к. т. п. сформулирована Э. Виттеном [1]. Наиб. важные примеры T. к. т. п.: топологич. теории Янга - Миллса полей и топологич. сигма-модели .Как правило, в теориях такого типа в чётномерном пространстве-времени в качестве действия используются топологические заряды [напр., где F-2-форма (см, Дифференциальная форма)напряженности глюонного поля]. Пример такой теории в нечётномерном простран-стве-впемени даётся действием Черна - Саймонса, где А - 1-форма калибровочного векторного поля. 3-Мерная модель Черна - Саймонса получила наиб. развитие, поскольку она связана с др. актуальными проблемами: классификацией топологич. типов 3-мерных пространств (теорией узлов) [2]. 2-мерными конформными квантовыми теориями поля (см. Конформная инвариантность, Двумерные модели).

Открытым является вопрос о возможности построения T. к. т. п. общего вида, в к-рых зависимость от метрич. характеристик имеется в классич. приближении, но исчезает после полного вычисления функционального интеграла. Пример такого рода - квантовая теория гравитации. Ощутимый прогресс в этой области достигнут пока только в изучении моделей 2-мерной квантовой гравитации, тесно связанных со струн теорией, с задачами описания топологии пространств модулей расслоений над римановыми поверхностями и с теорией случайных матриц. О нек-рых результатах в этом направлении см. [3 ].

Лит.: 1) Witten E., Topological quantum field theory, "Commun. Math. Phys.", 1988, v. 117, p. 353; 2) Vanghan F. R., A Polynomial invariant for knots via von Neumiann Algebras, "Bull. Amer. Math. Soc.", 1985, v. 12, p. 103; 3) Gross D., Migdal A., A nonpertur-bative treatment of Two-dimensional quantum gravity, "Nucl. Phys.", 1990, v. 330 B, p. 333. А. Ю. Морозов.

   <<      Предметный указатель      >>